Déformations des applications harmoniques tordues

Deformations of twisted harmonic maps

• Auteur / Autrice : Marco Spinaci
• Direction : Philippe Eyssidieux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/11/2013
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Pierre Demailly
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Py, Carlos Simpson
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Domingo Toledo, Olivier Biquard

Mots clés

Mots clés libres

Applications harmoniques tordues

Espaces de modules

Fibrés de Higgs

Variations de Structures de Hodge

Groupes de Kähler

Fonctionnelle d'énergie

Twisted harmonic maps

Moduli spaces

Higgs bundles

Variation of Hodge Structures

Kähler Groups

Energy functional

Résumé

On étudie les déformations des applications harmoniques f tordues par rapport à une représentation. Après avoir construit une application harmonique tordue "universelle", on donne une construction de toute déformations du premier ordre de f en termes de la théorie de Hodge ; on applique ce résultat à l'espace de modules des représentations réductives d'un groupe de Kähler, pour démontrer que les points critiques de la fonctionnelle de l'énergie E coïncident avec les représentations de monodromie des variations complexes de structures de Hodge. Ensuite, on procède aux déformations du second ordre, où des obstructions surviennent ; on enquête sur l'existence de ces déformations et on donne une méthode pour le construire. En appliquant ce résultat à la fonctionnelle de l'énergie comme ci-dessus, on démontre (pour n'importe quel groupe de présentation finie) que la fonctionnelle de l'énergie est strictement pluri sous-harmonique sur l'espace des modules des représentations. En assumant de plus que le groupe soit de Kähler, on étudie les valeurs propres de la matrice hessienne de E dans les points critiques.

We study the deformations of twisted harmonic maps f with respect to a representation. After constructing a continuous "universal" twisted harmonic map, we give a construction of every first order deformation of f in terms of Hodge theory; we apply this result to the moduli space of reductive representations of a Kähler group, to show that the critical points of the energy functional E coincide with the monodromy representations of polarized complex variations of Hodge structure. We then proceed to second order deformations, where obstructions arise; we investigate the existence of such deformations, and give a method for constructing them, as well. Applying this to the energy functional as above, we prove (for every finitely presented group) that the energy functional is strictly pluri sub-harmonic on the moduli space of representations; assuming furthermore that the group is Kähler, we study the eigenvalues of the Hessian of E at critical points.