Théorèmes d'annulation et théorèmes de structure sur les variétés kähleriennes compactes

Vanishing theorems and structure theorems of compact kähler manifolds

• Auteur / Autrice : Junyan Cao
• Direction : Jean-Pierre Demailly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/09/2013
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Campana, Philippe Eyssidieux, Laurent Manivel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Thomas Peternell, Claire Voisin

Mots clés

Mots clés libres

Variétés kählériennes

Théorème d'annulation

Propriétés cohomologiques

Kähler manifolds

Vanishing theorems

Properties of cohomologies

Résumé

L'objet principal de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats bien connus de la géométrie algébrique au cas kählerien non nécessairement projectif. On généralise d'abord le théorème d'annulation de Nadel au cas kählerien arbitraire. On obtient aussi un cas particulier du théorème d'annulation de Kawamata-Viehweg pour les variétés qui admettent une fibration vers un tore dont la fibre générique est projective. En utilisant ce résultat, on étudie le problème de déformation pour les variétés kählériennes compactes sous une hypothèse portant sur les fibrés canoniques. On étudie enfin les variétés à fibré anticonique nef. On montre que si le fibré anticanonique est nef, alors le fibré tangent est à pentes semi-positif relative à la filtration de Harder-Narasimhan pour la polarization ω_X^{n-1}. Comme application, on donne une preuve simple de la surjectivité de l'application d'Albanese, et on étudie aussi la trivialité locale de l'application d'Albanese.

The aim of this thesis is to generalize a certain number of results of algebraic geometry to K''{a}hler geometry. We first generalize the Nadel vanishing theorem to arbitrary compact Kähler manifolds. We prove also a particular version of the Kawamata-Viehweg vanishing theorem for manifolds admitting a fibration to a torus such that the generic fiber is projective. Using this result, we study the theory of deformations of compact Kähler manifolds under certain assumptions on their canonical bundles. Finally, we study varieties with nef anticanonical bundles. We prove that the slopes of the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundles with respect to a polarization of the form ω_X^{n-1} are semi-positive. As an application, we give a simple proof of the surjectivity of the Albanese map, and we investigate also the local triviality of the Albanese map.