Méthodes par blocs adaptées aux matrices structurées et au calcul du pseudo-inverse

Block methods adapted to structured matrices and calculation of the pseudo-inverse

• Auteur / Autrice : Atika Archid
• Direction : Hassane Sadok, Abdeslem Hafid Bentbib
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et informatique. Analyse Numérique
• Date : Soutenance le 27/04/2013
• Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec Université Cadi Ayyad (Marrakech, Maroc). Faculté des sciences et techniques Guéliz
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Appliquées et Informatique (Guéliz Marrakech, Maroc) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville / LMPA
• Jury : Président / Présidente : Nour Eddine Alaa
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nour Eddine Alaa, Mohammed Bellalij
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jilali Abouir

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie symplectique

Pseudo-inverses

Méthodes de sous-espaces de Krylov

Matrices -- Inversion

Analyse numérique matricielle

Mots clés libres

Matrice structurée

Arnoldi symplectique

Lanczos symplectique

Sous-espace de Krylov

Matrice J-tridiagonale

Matrice J-triangulaire

Matrice J-Hessenberg

Factorisation S R

Factorisation Rj R

Householder symplectique

Réflecteur symplectique

Pseudo-inverse

Inverse généralisée de Moore Penrose

Structured matrix

Symplectic Arnoldi method

Symplectic Lanczos method

Krylov subspace

J-tridiagonal matrix

J-triangular matrix

J-Hessenberg matrix

SR factorization

Rj R factorization

Symplectic Householder

Symplectic reflector

Generalized Moore-Penrose inverse

Résumé

Nous nous intéressons dans cette thèse, à l'étude de certaines méthodes numériques de type krylov dans le cas symplectique, en utilisant la technique de blocs. Ces méthodes, contrairement aux méthodes classiques, permettent à la matrice réduite de conserver la structure Hamiltonienne ou anti-Hamiltonienne ou encore symplectique d'une matrice donnée. Parmi ces méthodes, nous nous sommes intéressés à la méthodes d'Arnoldi symplectique par bloc que nous appelons aussi bloc J-Arnoldi. Notre but essentiel est d’étudier cette méthode de façon théorique et numérique, sur la nouvelle structure du K-module libre ℝ²nx²s avec K = ℝ²sx²s où s ≪ n désigne la taille des blocs utilisés. Un deuxième objectif est de chercher une approximation de l'epérateur exp(A)V, nous étudions en particulier le cas où A est une matrice réelle Hamiltonnienne et anti-symétrique de taille 2n x 2n et V est une matrice rectangulaire ortho-symplectique de taille 2n x 2s sur le sous-espace de Krylov par blocs Km(A,V) = blockspan {V,AV,...,Am-1V}, en conservant la structure de la matrice V. Cette approximation permet de résoudre plusieurs problèmes issus des équations différentielles dépendants d'un paramètre (EDP) et des systèmes d'équations différentielles ordinaires (EDO). Nous présentons également une méthode de Lanczos symplectique par bloc, que nous nommons bloc J-Lanczos. Cette méthode permet de réduire une matrice structurée sous la forme J-tridiagonale par bloc. Nous proposons des algorithmes basés sur deux types de normalisation : la factorisation S R et la factorisation Rj R. Dans une dernière partie, nous proposons un algorithme qui généralise la méthode de Greville afin de déterminer la pseudo inverse de Moore-Penros bloc de lignes par bloc de lignes d'une matrice rectangulaire de manière itérative. Nous proposons un algorithme qui utilise la technique de bloc. Pour toutes ces méthodes, nous proposons des exemples numériques qui montrent l'efficacité de nos approches.

We study, in this thesis, some numerical block Krylov subspace methods. These methods preserve geometric properties of the reduced matrix (Hamiltonian or skew-Hamiltonian or symplectic). Among these methods, we interest on block symplectic Arnoldi, namely block J-Arnoldi algorithm. Our main goal is to study this method, theoretically and numerically, on using ℝ²nx²s as free module on (ℝ²sx²s, +, x) with s ≪ n the size of block. A second aim is to study the approximation of exp (A)V, where A is a real Hamiltonian and skew-symmetric matrix of size 2n x 2n and V a rectangular matrix of size 2n x 2s on block Krylov subspace Km (A, V) = blockspan {V, AV,...Am-1V}, that preserve the structure of the initial matrix. this approximation is required in many applications. For example, this approximation is important for solving systems of ordinary differential equations (ODEs) or time-dependant partial differential equations (PDEs). We also present a block symplectic structure preserving Lanczos method, namely block J-Lanczos algorithm. Our approach is based on a block J-tridiagonalization procedure of a structured matrix. We propose algorithms based on two normalization methods : the SR factorization and the Rj R factorization. In the last part, we proposea generalized algorithm of Greville method for iteratively computing the Moore-Penrose inverse of a rectangular real matrix. our purpose is to give a block version of Greville's method. All methods are completed by many numerical examples.