Convexités et problèmes de transport optimal sur l'espace de Wiener

Convexities and optimal transport problems on the Wiener space

• Auteur / Autrice : Vincent Nolot
• Direction : Shizan Fang
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/06/2013
• Etablissement(s) : Dijon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Bernard Bonnard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Guillaume Carlier, Ivan Gentil
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Luigi De Pascale, Nicolas Privault

Mots clés

Mots clés contrôlés

Monge-Ampère, Équations de

Transport optimal de mesure

Espaces de Paley-Wiener

Ensembles convexes

Mots clés libres

Transport optimal

Problème de Monge

Convexité

Espace de Wiener

Équation de Monge-Ampère

Dimension infinie

Mesure logarithmiquement concave

Optimal transport

Monge problem

Convexity

Wiener space

Monge-Ampère equation

Infinite dimension

Logarithmic concave measure

Résumé

L'objet de cette thèse est d'étudier la théorie du transport optimal sur un espace de Wiener abstrait. Les résultats qui se trouvent dans quatre principales parties, portent :Sur la convexité de l'entropie relative. On prolongera des résultats connus en dimension finie, sur l'espace de Wiener muni d'une norme uniforme, à savoir que l'entropie relative est (au moins faiblement) 1-convexe le long des géodésiques induites par un transport optimal sur l'espace de Wiener.Sur les mesures à densité logarithmiquement concaves. Le premier des résultats importants consiste à montrer qu'une inégalité de type Harnack est vraie pour le semi-groupe induit par une telle mesure sur l'espace de Wiener. Le second des résultats obtenus nous fournit une inégalité en dimension finie (mais indépendante de la dimension), contrôlant la différence de deux applications de transport optimal.Sur le problème de Monge. On s'intéressera au problème de Monge sur l'espace de Wiener, muni de plusieurs normes : des normes à valeurs finies, ou encore la pseudo-norme de Cameron-Martin.Sur l'équation de Monge-Ampère. Grâce aux inégalités obtenues précédemment, nous serons en mesure de construire des solutions fortes de l'équation de Monge-Ampère (induite par le coût quadratique) sur l'espace de Wiener, sous de faibles hypothèses sur les densités des mesures considérées

The aim of this PhD is to study the optimal transportation theory in some abstract Wiener space. You can find the results in four main parts and they are aboutThe convexity of the relative entropy. We will extend the well known results in finite dimension to the Wiener space, endowed with the uniform norm. To be precise the relative entropy is (at least weakly) geodesically 1-convex in the sense of the optimal transportation in the Wiener space.The measures with logarithmic concave density. The first important result consists in showing that the Harnack inequality holds for the semi-group induced by such a measure in the Wiener space. The second one provides us a finite dimensional and dimension-free inequality which gives estimate on the difference between two optimal maps.The Monge Problem. We will be interested in the Monge Problem on the Wiener endowed with different norms: either some finite valued norms or the pseudo-norm of Cameron-Martin.The Monge-Ampère equation. Thanks to the inequalities obtained above, we will be able to build strong solutions of the Monge-Ampère (those which are induced by the quadratic cost) equation on the Wiener space, provided the considered measures satisfy weak conditions