Programmation semidéfinie positive dans l’optimisation combinatoire avec applications à la théorie des codes correcteurs et à la géométrie

Semidefinite programming in combinatorial optimization with applications to coding theory and geometry

• Auteur / Autrice : Alberto Passuello
• Direction : Christine Bachoc
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 17/12/2013
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bordeaux - Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dion Gijswijt, Arnaud Pêcher, Jean-Pierre Tillich, Gilles Zémor
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Didier Henrion

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programmation semidéfinie

Théorie des graphes

Mots clés libres

Théorie des graphes

Nombre d'indépendance

Nombre chromatique

Sdp

Codes projectifs

Hiérarchies

Graph theory

Stable number

Chromatic number

Sdp

Projective codes

Hierarchies

Résumé

Une nouvelle borne supérieure sur le cardinal des codes de sous-espaces d'un espace vectoriel fini est établie grâce à la méthode de la programmation semidéfinie positive. Ces codes sont d'intérêt dans le cadre du codage de réseau (network coding). Ensuite, par la même méthode, l'on démontre une borne sur le cardinal des ensembles qui évitent une distance donnée dans l'espace de Johnson et qui est obtenue par une variante d'un programme de Schrijver. Les résultats numériques permettent d'améliorer les bornes existantes sur le nombre chromatique mesurable de l'espace Euclidien. Une hiérarchie de programmes semidéfinis positifs est construite à partir de certaines matrices issues des complexes simpliciaux. Ces programmes permettent d'obtenir une borne supérieure sur le nombre d'indépendance d'un graphe. Aussi, cette hiérarchie partage certaines propriétés importantes avec d'autres hiérarchies classiques. A titre d'exemple, le problème de déterminer le nombre d'indépendance des graphes de Paley est analysé.

We apply the semidefinite programming method to obtain a new upper bound on the cardinality of codes made of subspaces of a linear vector space over a finite field. Such codes are of interest in network coding.Next, with the same method, we prove an upper bound on the cardinality of sets avoiding one distance in the Johnson space, which is essentially Schrijver semidefinite program. This bound is used to improve existing results on the measurable chromatic number of the Euclidean space.We build a new hierarchy of semidefinite programs whose optimal values give upper bounds on the independence number of a graph. This hierarchy is based on matrices arising from simplicial complexes. We show some properties that our hierarchy shares with other classical ones. As an example, we show its application to the problem of determining the independence number of Paley graphs.