Perturbations singulières des systèmes dynamiques en dimension infinie : théorie et applications

Infinite Dimensional Singularly Perturbed Dynamical Systems : Theory and Applications

• Auteur / Autrice : Ousmane Seydi
• Direction : Pierre Magal, Arnaud Ducrot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 22/11/2013
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB
• Jury : Président / Présidente : Alain Miranville
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Langlais
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mostafa Adimy, Shigui Ruan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Démographie

Modèles mathématiques

Épidémies

Perturbations singulières (mathématiques)

Mots clés libres

Perturbations singulières

Variétés normalement hyperboliques

Trichotomie exponentielle

Dichotomie exponentielle

Équations à retard

Équations structurées en âge

Singular perturbations

Normally hyperbolic manifolds

Exponential trichotomy

Exponential dichotomy

Delay equations

Age structured models

Résumé

L’objectif de cette thèse est d’étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L’étude de ces classes d’exemples s’est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l’étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l’une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l’étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L’approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d’existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l’utilisation de cette méthode.

In this thesis we aim to give tools to understand singular perturbations in epidemic model sand population dynamic models. We study some singularly perturbed delay differential equation which does not enter into the class frame work of geometric singular perturbation for delay differential equations. An example of singularly perturbed age structured model is also studied. The study of these examples allowed us to understand and highlight some complexities of these problems. One of the main tools in understanding such questions is the normally hyperbolic manifolds theory which is our central focus in this thesis. The approach used here is the Lyapunov-Perron method. Therefore the problems of persistence and existence of exponential trichotomy (dichotomy) are also stressed since there are one of the mainingredients of this method.