Thèse soutenue

Autocorrélation et stationnarité dans le processus autorégressif

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Auteur / Autrice : Frédéric Proïa
Direction : Bernard Bercu
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 04/11/2013
Etablissement(s) : Bordeaux 1
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Arnaud Guillin, Anne Philippe, Jean-Marc Bardet, François Caron, Pierre Del Moral
Rapporteurs / Rapporteuses : Stephen J. Leybourne, Alexander Lindner

Résumé

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Cette thèse est dévolue à l'étude de certaines propriétés asymptotiques du processus autorégressif d'ordre p. Ce dernier qualifie communément une suite aléatoire (Yₙ) définie sur ℕ ou ℤ et entièrement décrite par une combinaison linéaire de ses p valeurs passées, perturbée par un bruit blanc (εₙ). Tout au long de ce mémoire, nous traitons deux problématiques majeures de l'étude de tels processus : l'autocorrélation résiduelle et la stationnarité. Nous proposons en guise d'introduction un survol nécessaire des propriétés usuelles du processus autorégressif. Les deux chapitres suivants sont consacrés aux conséquences inférentielles induites par la présence d'une autorégression significative dans la perturbation (εₙ) pour p=1 tout d'abord, puis pour une valeur quelconque de p, dans un cadre de stabilité. Ces résultats nous permettent d'apposer un regard nouveau et plus rigoureux sur certaines procédures statistiques bien connues sous la dénomination de test de Durbin-Watson et de H-test. Dans ce contexte de bruit autocorrélé, nous complétons cette étude par un ensemble de principes de déviations modérées liées à nos estimateurs. Nous abordons ensuite un équivalent en temps continu du processus autorégressif. Ce dernier est décrit par une équation différentielle stochastique et sa solution est plus connue sous le nom de processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Lorsque le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est lui-même engendré par une diffusion similaire, cela nous permet de traiter la problématique de l'autocorrélation résiduelle dans le processus à temps continu. Nous inférons dès lors quelques propriétés statistiques de tels modèles, gardant pour objectif le parallèle avec le cas discret étudié dans les chapitres précédents. Enfin, le dernier chapitre est entièrement dévolu à la problématique de la stationnarité. Nous nous plaçons dans le cadre très général où le processus autorégressif possède une tendance polynomiale d'ordre r tout en étant engendré par une marche aléatoire intégrée d'ordre d. Les résultats de convergence que nous obtenons dans un contexte d'instabilité généralisent le test de Leybourne et McCabe et certains aspects du test KPSS. De nombreux graphes obtenus en simulations viennent conforter les résultats que nous établissons tout au long de notre étude.