Images des représentations galoisiennes

Images of Galois representations

• Auteur / Autrice : Samuele Anni
• Direction : Bas Edixhoven, Pierre Parent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 24/10/2013
• Etablissement(s) : Bordeaux 1 en cotutelle avec Universiteit Leiden (Leyde, Pays-Bas)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bart De Smit, Fabien Mehdi Pazuki, Peter Stevenhagen
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ian Kiming, Gabor Wiese

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes modulaires

Modules galoisiens

Représentations de groupes

Corps finis

Mots clés libres

Représentations galoisiennes

Principe local-global

Courbes modulaires

Courbes formes

Formes modulaires de Katz

Isogénies

Courbes elliptiques sur les corps de nombres

Galois representations

Local-global principle

Modular curves

Modular forms

Katz modular forms

Isogenies

Elliptic curves on number fields

Résumé

Dans cette thèse, on étudie les représentations 2-dimensionnelles continues du groupe de Galois absolu d'une clôture algébrique fixée de Q sur les corps finis qui sont modulaires et leurs images. Ce manuscrit se compose de deux parties.Dans la première partie, on étudie un problème local-global pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres. Soit E une courbe elliptique sur un corps de nombres K, et soit l un nombre premier. Si E admet une l-isogénie localement sur un ensemble de nombres premiers de densité 1 alors est-ce que E admet une l-isogénie sur K ? L'étude de la repréesentation galoisienne associéee à la l-torsion de E est l'ingrédient essentiel utilisé pour résoudre ce problème. On caractérise complètement les cas où le principe local-global n'est pas vérifié, et on obtient une borne supérieure pour les valeurs possibles de l pour lesquelles ce cas peut se produire.La deuxième partie a un but algorithmique : donner un algorithme pour calculer les images des représentations galoisiennes 2-dimensionnelles sur les corps finis attachées aux formes modulaires. L'un des résultats principaux est que l'algorithme n'utilise que des opérateurs de Hecke jusqu'à la borne de Sturm au niveau donné n dans presque tous les cas. En outre, presque tous les calculs sont effectués en caractéristique positive. On étudie la description locale de la représentation aux nombres premiers divisant le niveau et la caractéristique. En particulier, on obtient une caractérisation précise des formes propres dans l'espace des formes anciennes en caractéristique positive.On étudie aussi le conducteur de la tordue d'une représentation par un caractère et les coefficients de la forme de niveau et poids minimaux associée. L'algorithme est conçu à partir des résultats de Dickson, Khare-Wintenberger et Faber sur la classification, à conjugaison près, des sous-groupes finis de PGL₂(F¯ℓ). On caractérise chaque cas en donnant une description et des algorithmes pour le vérifier. En particulier, on donne une nouvelle approche pour les représentations irréductibles avec image projective isomorphe soit au groupe symétrique sur 4 éléments ou au groupe alterné sur 4 ou 5 éléments.

In this thesis we investigate 2-dimensional, continuous, odd, residual Galois representations and their images. This manuscript consists of two parts.In the first part of this thesis we analyse a local-global problem for elliptic curves over number fields. Let E be an elliptic curve over a number field K, and let ℓ be a prime number. If E admits an ℓ-isogeny locally at a set of primes with density one then does E admit an ℓ-isogeny over K? The study of the Galois representation associated to the ℓ-torsion subgroup of E is the crucial ingredient used to solve the problem. We characterize completely the cases where the local-global principle fails, obtaining an upper bound for the possible values of ℓ for which this can happen. In the second part of this thesis, we outline an algorithm for computing the image of a residual modular 2-dimensional semi-simple Galois representation. This algorithm determines the image as a finite subgroup of GL₂(F¯ℓ), up to conjugation, as well as certain local properties of the representation and tabulate the result in a database. In this part of the thesis we show that, in almost all cases, in order to compute the image of such a representation it is sufficient to know the images of the Hecke operators up to the Sturm bound at the given level n. In addition, almost all the computations are performed in positive characteristic.In order to obtain such an algorithm, we study the local description of the representation at primes dividing the level and the characteristic: this leads to a complete description of the eigenforms in the old-space. Moreover, we investigate the conductor of the twist of a representation by characters and the coefficients of the form of minimal level and weight associated to it in order to optimize the computation of the projective image.The algorithm is designed using results of Dickson, Khare-Wintenberger and Faber on the classification, up to conjugation, of the finite subgroups of PGL₂(F¯ℓ). We characterize each possible case giving a precise description and algorithms to deal with it. In particular, we give a new approach and a construction to deal with irreducible representations with projective image isomorphic to either the symmetric group on 4 elements or the alternating group on 4 or 5 elements.