Problèmes autour de courbes élliptiques et modulaires
Auteur / Autrice : | Min Sha |
Direction : | Yuri Bilu |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques pures |
Date : | Soutenance le 27/09/2013 |
Etablissement(s) : | Bordeaux 1 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB |
Jury : | Président / Présidente : Yann Bugeaud |
Examinateurs / Examinatrices : Pierre Parent | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Yann Bugeaud, Loïc Merel |
Mots clés
Résumé
Cette thèse se divise en deux parties. La première est consacrée aux points entiers sur les courbes modulaires, et l'autre se concentre sur les courbes elliptiques à couplages.Dans la première partie, nous donnons quelques majorations effectives de la hauteur des j-invariants des points entiers sur les courbes modulaires quelconques associées aux sous-groupes de congruence sur les corps de nombres quelconques en supposant que le nombre des pointes est au moins 3. De plus, dans le cas d'un groupe de Cartan non-déployé nous fournissons de meilleures bornes. Comme application, nous obtenons des résultats similaires pour certaines courbes modulaires avec moins de 3 pointes.Dans la deuxième partie, nous donnons une nouvelle majoration du nombre de classes d'isogénie de courbes elliptiques ordinaires à couplages. Nous analysons également la méthode de Cocks-Pinch pour confirmer certaines de ses propriétés communément conjecturées. Par ailleurs, nous présentons la première analyse heuristique connue qui suggère que toute construction efficace de courbes elliptiques à couplages peut engendrer efficacement de telles courbes sur tout corps à couplages. Enfin, quelques données numériques allant dans ce sens sont données.