Ramification modérée pour des actions de schémas en groupes affines et pour des champs quotients

Tameness for actions of affine group schemes and quotient stacks

Ramificazione moderata per azioni di schemi in gruppi affini e per stacks quoziente

• Auteur / Autrice : Sophie Marques
• Direction : Boas Erez, Marco Garuti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 15/07/2013
• Etablissement(s) : Bordeaux 1 en cotutelle avec Università degli studi (Padoue, Italie). Dipartimento di matematica pura e applicata
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB
• Jury : Président / Présidente : Pierre Dèbes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Chiarellotto, Jean Gillibert
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ted Chinburg, Angelo Vistoli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hopf, Algèbres de

Groupes algébriques affines

Mots clés libres

Actions modérées de schémas en groupes affines

Champs modérés

Algèbres de Hopf et comodules

Théorie de la ramification

Théorie de la déformation

Tame actions on group schemes

Tame stacks

Hopf algebras and comodules

Ramification theory

Deformation theory

Azioni moderate di schemi in gruppi

Stacks moderati

Spazi di moduli

Algebre di Hopf e comoduli

Teoria della ramificazione

Teoria della deformazione

Résumé

L’objet de cette thèse est de comprendre comment se généralise la théorie de la ramification pour des actions par des schémas en groupes affines avec un intérêt particulier pour la notion de modération. Comme contexte général pour ce résumé, considérons une base affine S := Spec(R) où R est un anneau unitaire, commutatif, X := Spec(B) un schéma affine sur S, G := Spec(A) un schéma en groupes affine, plat et de présentation finie sur S et une action de G sur X que nous noterons (X, G). Enfin, nous notons [X/G] le champ quotient associé à cette action et Y := Spec(BA) où BA est l’anneau des invariants pour l’action (X, G). Supposons de plus que le champ d’inertie soit fini.Comme point de référence, nous prenons la théorie classique de la ramification pour des anneaux munis d’une action par un groupe fini abstrait. Afin de comprendre comment généraliser cette théorie pour des actions par des schémas en groupes, nous considérons les actions par des schémas en groupes constants en se rappelant que la donnée de telles actions est équivalente à celle d’un anneau muni d’une action par un groupe fini abstrait nous ramenant au cas classique. Nous obtenons ainsi dans ce nouveau contexte des notions généralisant l’anneau des invariants en tant que quotient, les groupes d’inertie et toutes leurs propriétés. Le cas non ramifié se généralise naturellement avec les actions libres. En ce qui concerne le cas modéré, qui nous intéresse particulièrement pour cette thèse, deux généralisations sont proposées dans la littérature. Celle d’actions modérées par des schémas en groupes affines introduite par Chinburg, Erez, Pappas et Taylor dans l’article [CEPT96] et celle de champ modéré introduite par Abramovich, Olsson et Vistoli dans [AOV08]. Il a été alors naturel d’essayer de comparer ces deux notions et de comprendre comment se généralisent les propriétés classiques d’objets modérés à des actions par des schémas en groupes affines.Tout d’abord, nous avons traduit algébriquement la propriété de modération sur un champ quotient comme l’exactitude du foncteur des invariants. Ce qui nous a permis d’obtenir aisément à l’aide de [CEPT96] qu’une action modérée définit toujours un champ quotient modéré. Quant à la réciproque, nous avons réussi à l’obtenir seulement lorsque nous supposons de plus que G est fini et localement libre sur S et que X est plat sur Y . Nous pouvons voir que la notion de modération pour l’anneau B muni d’une action par un groupe fini abstrait Γ est équivalente au fait que tous les groupes d’inertie aux points topologiques sont linéairement réductifs si l’on considère l’action par le schéma en groupes constant correspondant à Γ sur X. Il a été donc naturel de se demander si cette propriété est encore vraie en général. Effectivement, l’article [AOV08] caractérise le fait que le champ quotient [X/G] est modéré par le fait que les groupes d’inertie aux points géométriques sont linéairement réductifs.À nouveau, si l’on considère le cas des anneaux munis d’une action par un groupe fini abstrait, il est bien connu que l’action peut être totalement reconstruite à partir de l’action d’un groupe inertie. Lorsque l’on considère le cas des actions par les schémas en groupes constants, cela se traduit comme un théorème de slices, c’est-à-dire une description locale de l’action initiale par une action par un groupe d’inertie. Par exemple, lorsque G est fini, localement libre sur S, nous établissons que le fait qu’une action soit libre est une propriété locale pour la topologie fppf, ce qui peut se traduire comme un théorème de slices. Grâce à [AOV08], nous savons déjà qu’un champ quotient modéré [X/G] est localement isomorphe pour la topologie fppf à un champ quotient [X/H] où H est une extension du groupe d’inertie en un point de Y. Lorsque G est fini sur S, il nous a été possible de montrer que H est aussi un sous-groupe de G.

The purpose of this thesis is to understand how to generalize the ramification theory for actions by affine group schemes with a particular interest for the notion of tameness. As general context for this summary, we consider an affine basis S := Spec(R) where R is a commutative, unitary ring, an affine, finitely presented, Noetherian scheme X := Spec(B) over S, a flat, finitely presented, affine group scheme G := Spec(A) over S and an action of G on X that we denote by (X, G). Finally, we denote [X/G] the quotient stack associated to this action and we set Y := Spec(BA) where BA is the ring of invariants for the action (X, G). Moreover, we suppose that the inertia stack is finite.As reference point, we take the classical theory of ramification for rings endowed with an action of a finite, abstract group. In order to understand how to generalize this theory for actions of group schemes, we consider the actions of constant group schemes knowing that the data of such actions is equivalent to the data of rings endowed with an action of a finite abstract group, this being the classical case. We obtain thus in this new context notions generalizing the ring of invariants as a quotient, the inertia group and all their properties. The unramified case is generalized naturally by the free actions. For the tame case, which interests us particularly here, two generalizations are proposed in the literature: the one of tame actions of affine group schemes introduced by Chinburg, Erez, Pappas et Taylor in the article [CEPT96] and the one of tame stacks introduced by Abramovich, Olsson and Vistoli in [AOV08]. It was then natural to compare these two notions and to understand how to generalize the classical properties of tame objects for the actions of affine group schemes. First of all, we traduced algebraically the tameness property on a quotient stack as the exactness of the functor of invariants. This permits to obtain easily thanks to [CEPT96] that tame actions define always tame quotient stacks. For the converse, we only manage to prove it when we suppose G to be finite, locally free over S and X flat over Y . We are able to see that the notion of tameness for a ring endowed with an action of a finite, abstract group Γ is equivalent to the fact that all the inertia group schemes at the topological points are linearly reductive if we consider the action of the constant group scheme corresponding to Γ over X. It was thus natural to wonder if this property was also true in general. In fact, the article [AOV08] characterizes the fact that the quotient stack [X/G] is tame by the fact that the inertia group schemes at the geometric points are linearly reductive.Again, if we consider the case of rings endowed with an action of a finite, abstract group, it is well known that these actions can be totally reconstructed from an action involving an inertia group. When we consider actions by constant group schemes, this is translated as a slice theorem, that is, a local description of the initial action by an action involving an inertia group. For example, we establish that the fact that an action is free is a ''local property'' for the fppf topology and this can be translated also as a ''local'' slice theorem. Thanks to [AOV08], we already know that a tame quotient stack [X/G] is locally isomorphic for the fppf topology to a quotient stack [X/H], where H is an extension of the inertia group in a point of Y . When G is finite over S, it was possible to show that H is also a subgroup of G. In this thesis, it was not possible to obtain a slice theorem in this generality. However, when G is commutative, finite over S, it is possible to prove the existence of a torsor, if we suppose [X/G] to be tame. This permits to prove a slice theorem when G is commutative, finite over S and [X/G] is tame.

Lo scopo di questa tesi è capire come si generalizza la teoria della ramificazione per azioni di schemi in gruppi affini con un interesse particolare per la nozione di moderazione. Come contesto generale per questo riassunto, consideriamo una base affine S := Spec(R) dove R è un anello unitario e commutativo, X := Spec(B) uno schema affine, noetheriano e di presentazione finita su S, G := Spec(A) uno schema in gruppi affine, piatto e di presentazione finita su S e un’azione di G su X che denoteremo (X, G). Infine, denotiamo con [X/G] lo stack quoziente associato a questa azione e Y := Spec(BA) dove BA è l’anello degli invarianti per l’azione (X, G). Supponiamo inoltre che il campo d’inerzia sia finito.Come punto di riferimento prendiamo la teoria classica della ramificazione per anelli muniti d’un’azione d’un gruppo finito astratto. Al fine di comprendere come generalizzare questa teoria per azioni di schemi in gruppi, consideriamo le azioni di schemi in gruppi costanti ricordando che il dato di tali azioni è equivalente al dato d’un anello dotato d’un’azione d’un gruppo finito astratto, riconducendosi al caso classico. Otteniamo così in questo nuovo contesto delle nozioni che generalizzano l’anello degli invarianti in quanto quoziente, i gruppi d’inerzia e tutte le loro proprietà. Il caso non ramificato si generalizza in modo naturale con le azioni libere. Per qual che riguarda il caso moderato, al quale siamo particolarmente interessati in questa tesi, due generalizzazioni sono proposte nella letteratura: quella delle azioni moderate di schemi in gruppi affini introdotta da Chinburg, Erez, Pappas e Taylor nell’articolo [CEPT96] e quella di stack moderato introdotta da Abramovich, Olsson e Vistoli in [AOV08]. È stato quindi naturale cercare di confrontare queste due nozioni e capire come si generalizzano le proprietà classiche degli oggetti moderati ad azioni di schemi in gruppi affini.Per cominciare, abbiamo tradotto algebricamente la proprietà di moderazione su un stack quoziente come l’esattezza del funtore degli invarianti. Ciò ha permesso d’ottenere agevolmente, usando [CEPT96], che un’azione moderata definisce sempre uno stack quoziente moderato. Quanto al viceversa, siamo riusciti ad ottenerlo solamente sotto l’ulteriore ipotesi che G sia finito e localmente libero su S e che X sia piatto su Y . Possiamo vedere che la nozione di moderazione per l’anello B dotato d’un’azione d’un gruppo finito astratto Γ è equivalente al fatto che tutti i gruppi d’inerzia sui punti topologici siano linearmente riduttivi se si considera l’azione dello schema in gruppi costante corrispondente a Γ su X. È stato quindi naturale domandarsi se questa proprietà sia vera in generale. In effetti, l’articolo [AOV08] caratterizza il fatto che lo stack quoziente [X/G] è moderato tramite il fatto che i gruppi d’inerzia sui punti geometrici siano linearmente riduttivi.Di nuovo, se consideriamo il caso degli anelli muniti d’un’azione d’un gruppo finito astratto, è ben noto che quest’azione può essere totalmente ricostruita a partire da un’azione in cui interviene un gruppo d’inerzia. Quando consideriamo il caso delle azioni degli schemi in gruppi costanti, questo si traduce come un teorema di slices, cioè una descrizione locale dell’azione di partenza (X,G) tramite un’azione in cui interviene un gruppo d’inerzia. Per esempio quando G è finito e localmente libero su S, stabiliamo che il fatto che un’azione è libera è una proprietà locale per la topologia fppf, ciò si può interpretare come un teorema di slices. Grazie a [AOV08] sappiamo già che uno stack quoziente moderato [X/G] è localmente isomorfo per la topologia fppf a uno stack quoziente [X/H], dove H è un’estensione d’un gruppo d’inerzia in un punto di Y.