Estimation non paramétrique pour les processus markoviens déterministes par morceaux

par Romain Azaïs

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de François Dufour et de Anne Gégout-Petit.

Soutenue le 01-07-2013

à Bordeaux 1 , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Bordeaux (laboratoire) , Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB (laboratoire) et de CQFD (laboratoire) .

Le président du jury était Fabienne Comte.

Le jury était composé de Jérôme Saracco.

Les rapporteurs étaient Davy Paindaveine, Patricia Reynaud-Bouret.

mots clés

• Processus markoviens déterministes par morceaux
• Chaînes de Markov ergodiques
• Estimation non paramétrique
• Estimation de taux de saut
• Estimation de noyau de transition
• Régression semi-paramétrique
• Markov, Processus de
• Statistique non paramétrique

Résumé

M.H.A. Davis a introduit les processus markoviens déterministes par morceaux (PDMP) comme une classe générale de modèles stochastiques non diffusifs, donnant lieu à des trajectoires déterministes ponctuées, à des instants aléatoires, par des sauts aléatoires. Dans cette thèse, nous présentons et analysons des estimateurs non paramétriques des lois conditionnelles des deux aléas intervenant dans la dynamique de tels processus. Plus précisément, dans le cadre d'une observation en temps long de la trajectoire d'un PDMP, nous présentons des estimateurs de la densité conditionnelle des temps inter-sauts et du noyau de Markov qui gouverne la loi des sauts. Nous établissons des résultats de convergence pour nos estimateurs. Des simulations numériques pour différentes applications illustrent nos résultats. Nous proposons également un estimateur du taux de saut pour des processus de renouvellement, ainsi qu'une méthode d'approximation numérique pour un modèle de régression semi-paramétrique.

mots clés

• Piecewise-deterministic Markov processes
• Ergodic Markov chains
• Nonparametric estimation
• Jump rate estimation
• Transition kernel estimation
• Semiparametric regression

Titre traduit

Nonparametric estimation for piecewise-deterministic Markov processes

Résumé

Piecewise-deterministic Markov processes (PDMP’s) have been introduced by M.H.A. Davis as a general family of non-diffusion stochastic models, involving deterministic motion punctuated by random jumps at random times. In this thesis, we propose and analyze nonparametric estimation methods for both the features governing the randomness of such a process. More precisely, we present estimators of the conditional density of the inter-jumping times and of the transition kernel for a PDMP observed within a long time interval. We establish some convergence results for both the proposed estimators. In addition, numerical simulations illustrate our theoretical results. Furthermore, we propose an estimator for the jump rate of a nonhomogeneous renewal process and a numerical approximation method based on optimal quantization for a semiparametric regression model.