Groupes d’Inertie et Variétés Jacobiennes

Inertia Groups and Jacobian Varieties

• Auteur / Autrice : Pierre Chrétien
• Direction : Michel Matignon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 13/06/2013
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux - Institut de Mathématiques de Bordeaux / IMB
• Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Couveignes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Romagny
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marc Perret, Irene Bouw

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corps de classe

Automorphismes

Mots clés libres

Réduction stable

Conducteur

Automorphismes

Corps de classes

Stable reduction

Conductor

Automorphisms

Class fields

Résumé

Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0 et C/k une courbe projective, lisse, intègre de genre g > 1 munie d’un p-groupe d’automorphismes G tel que |G| > 2p/(p-1)g. Le couple (C,G) est appelé grosse action. Si (C,G) est une grosse action, alors |G| <=4p/(p-1)^2g^2 (*). Dans cette thèse, nous étudions les répercussions arithmétiques des propriétés géométriques de grosses actions. Nous étudions d’abord l’arithmétique de l’extension de monodromie sauvage maximale de courbes sur un corps local K d’inégale caractéristique p à corps résiduel algébriquement clos, de genre arbitrairement grand ayant pour potentielle bonne réduction une grosse action satisfaisant le cas d’égalité de (*). On étudie en particulier les conducteurs de Swan attachés à ces courbes. Nous donnons ensuite les premiers exemples, à notre connaissance, de grosses actions (C,G) telles que le groupe dérivé D(G) soit non abélien. Ces courbes sont obtenues comme revêtements de S-corps de classes de rayons de P1(Fq) pour S non vide un sous-ensemble fini de P1(Fq). Enfin, on donne une méthode de calcul des S-corps de classes de Hilbert de revêtements abéliens de la droite projective d’exposant p et supersinguliers que l’on illustre pour des courbes de Deligne-Lusztig.

Let k be an algebraically closed field of characteristic p > 0 and C/k be a projective,smooth, integral curve of genus g > 1 endowed with a p-group of automorphisms G such that |G| > 2p/(p-1)g. The pair (C,G) is called big action. If (C,G) is a big action, then |G|<=4p/(p-1)^2g^2 (*). In this thesis, one studies arithmetical repercussions of geometric properties of big actions. One studies the arithmetic of the maximal wild monodromy extension of curves over a local field K of mixed characteristic p with algebraically closed residue field, with arbitrarily high genus having for potential good reduction a big action achieving equality in (*). One studies the associated Swan conductors. Then, one gives the first examples, to our knowledge, of big actions (C,G) with non abelian derived group D(G). These curves are obtained as coverings of S-ray class fields of P1(Fq) where S is a finite non empty subset of P1(Fq). Finally, one describes a method to compute S-Hilbert class fields of supersingular abelian covers of the projective line having exponent p and one illustrates it for some Deligne-Lusztig curves.