Diviseurs sur les courbes réelles

Divisors on real curves

• Auteur / Autrice : Alexandre Bardet
• Direction : Jean-Philippe Monnier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Angers
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Mots clés libres

Courbe

Singularisation

Diviseur

Equivalence linéaire

Genre 2

Composante connexe

Courbe maximale

Noeuds

Cusp

Résumé

Dans un article sur les sommes de carrés, Scheiderer a prouvé que pour toute courbe algébrique, réelle, projective, irréductible, lisse, ayant des points réels, il existait un entier N tel que tout diviseur de degré plus grand que N soit linéairement équivalent à un diviseur dont le support est totalement réel. Ensuite Huisman et Monnier ont montré que dans le cas des courbes avec beaucoup de composantes connexes, ie. Celle en ayant au moins autant que le genre g, ici supposé strictement positif, de la courbe, on pouvait prendre N égal à 2g − 1. Monnier a également abordé la question pour les cas des courbes singulières : il en a exhibé pour lesquelles un tel entier n'existait pas et d'autres pour lesquelles il existait. Dans cette thèse on étend la classe des courbes singulières pour lesquelles un tel entier existe, essentiellement des courbes avec des noeuds ou des cusps, et on arrive dans certains cas a contrôlé explicitement cet entier en fonction du genre de la courbe et du nombre de ces singularités. Pour y parvenir on utilise d'une part une " singularisation successive " et d'autre part une variante de l'invariant où l'on demande qu'en plus les points du support soient deux-à-deux distincts. Pour ce nouvel invariant, on étend tel quel les résultats sur les courbes ayant beaucoup de composantes et on traite celui des courbes de genre 2 ayant une seule composante, le " premier " cas jusqu'alors inconnu : dans ce cas la borne 3 est impossible en général, mais par contre 5 convient.

In an article about sums of squares, Scheiderer proved that for every real, algebraic, projective, irreducible, smooth curve with some real points, their exists an integer N such that every divisor of degre not lower than N is linearly equivalent to a divisor whose support is totally real. Then Huisman and Monnier proved that for real curves with many components, ie. Those with at least as many components as the genus g, assumed here to be positive, of the curve, one can choose N equal to 2g − 1. Monnier also dealed with singular curves: he showed that for some of them such an integer does not exist and gave some others where it does exist. In this thesis we extend the classe of singular curves for wich such an integer exists, essentially those with nodes and cusps, and we sometimes manage to bound such an integer in terms of the genus. To do so, an "iterative singularisation" is used and also a slightly different invariant where we ask the real points of the support to be distinct from each-other. We extend the results about curves with many components to that new invariant and deal with curves of genus 2 having only one component, which is the "very first" unknown case so far: in that case, 3 cannot bound the invariant, but 5 does.