Multifractal analysis of some non-conventional ergodic averages

• Auteur / Autrice : Meng Wu
• Direction : Ai-Hua Fan, Samuel Petite
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Kenneth J. Falconer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ai-Hua Fan, Samuel Petite, Stéphane Seuret, Julien Barral, Jean-Paul Chehab, Stéphane Jaffard, Philippe Thieullen
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Stéphane Seuret, Boris Solomyak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hausdorff, Mesures de

Multifractales

Mots clés libres

V-statistiques

Marches orientées

Résumé

Cette thèse est principalement consacrée à l'étude de certaines moyennes ergodiques multiples d'un point de vue d'analyse multifractale. Sur un espace symbolique avec un nombre fini de symboles, pour les potentiels ne dépendant que de la première coordonnée, on donne une solution complète au problème d'analyse multifractale de la limite de la moyenne ergodique multiple. Pour ce faire, on développe dans ce cadre particulier une version non-invariante et non-linéaire de formalisme thermodynamique qui a son intérêt propre. Nous étudions également des v-statistiques pour un système saturé et nous établissons un principe variationnel pour le spectre d'entropie topologique des v- statistiques. Enfin, nous étudions les comportements individuels de marches orientées dans rd. Nous donnons une décomposition multifractale complète des comportements asymptotiques de ces marches orientées. Dans les deux premiers cas mentionnés ci-dessus, il apparaît des phénomènes différents du cas des moyennes ergodiques classiques. Pour des moyennes ergodiques multiples, il n'existe pas en général de mesure invariante de même dimension que les ensembles de niveau. De plus, le spectre invariant et le spectre mélangeant diffèrent. Pour le cas de v-statistiques, les spectres d'entropie peuvent être discontinus même pour des potentiels continus holderiens

This thesis is mainly focused on the study of some multiple ergodic averages from multifractal analysis point of view. In a full symbolic space with finite symbols, for potentials depending only on the first coordinate, we obtain a complete solution to the problem of multifractal analysis of the limit of the multiple ergodic averages. To this end, we develop in this setting a non-invariant and non-linear version of thermodynamic formalism, which has its own interest. We also study v-statistics in saturated systems and we establish a variational principle for the entropy spectrum of the v-statistics. Finally, we study individual behaviors of oriented walks in rd and we give a complete multifractal decomposition of the asymptotic comportments of these oriented walks. In the two first cases mentioned above, new interesting phenomena appear, comparing to the case of classical ergodic averages. In the multiple ergodic average case, there are in general no invariant measure with the same dimension as the level sets. Moreover, the invariant and the mixing spectra differ. For the v-statistics, the entropy spectra may be discontinuous even for holder continuous potentials