Analyse complexe et problèmes de Dirichlet dans le plan : équation de Weinstein et autres conductivités non-bornées

par Slah Chaabi

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Alexander Borichev et de Laurent Baratchart.

Le président du jury était Sandrine Grellier.

Le jury était composé de Franck Wielonsky, Emmanuel Russ.

Les rapporteurs étaient Roman Novikov, Jonathan Richard Partington.


  • Résumé

    L'équation de Weinstein est une équation régissant les Potentiels à Symétrie Axiale (PSA) qui est Lm[u]=∆u+(m/x)∂ₓu=0, où m∈ℂ. On généralise des résultats connus pour ℝ au cas ℂ. On donne des expressions de solutions fondamentales des opérateurs Lm[u] et leurs estimations, on démontre une formule de Green pour les PSA dans le demi-plan droit H⁺ pour Re m≺1. On prouve un nouveau théorème de décomposition des PSA dans des anneaux quelconques pour ℂ et dans une géométrie annulaire particulière utilisant les coordonnées bipolaires, on prouve qu'une famille de solutions des PSA en termes de fonctions de Legendre Associées de 1re et 2de espèce est complète, on montre lorsque ℝ que celle-ci est une base de Riesz. Dans la 2e partie, par une méthode qui est due à A. S. Fokas, on donne des formules des PSA dans un disque de H⁺, avec Z. Ces représentations sont obtenues par la résolution d'un problème de Riemann-Hilbert sur ℂ ou sur une surface de Riemann à deux feuillets. Dans la 3e partie, on étudie les fonctions pseudo-holomorphes, {it i. e.} les solutions de l'équation ̄∂w=α ̄w, α ∈ L^r, 2 ≤ r ≺ ∞. Une nouvelle extension de la régularité du principe de similarité et une réciproque de celui-ci qui conduit à un paramétrage analytique de ces fonctions dans le cas critique r=2 ont été obtenues. On résoud un problème de Dirichlet à données L^p pondérées sur des domaines lisses pour des équations du type conductivité à coefficient dont le log appartient à l'espace de Sobolev W^{1,2}.

  • Titre traduit

    Complex analysis and some Dirichlet problems in the plane : Weinstein's equation and conductivity equation with unbounded coefficients


  • Résumé

    The Weinstein equation with complex coefficients is the equation governing axisymmetric potentials (PSA) which can be written as Lm[u]=∆u+(m/x)∂ₓu=0, where m∈ℂ. We generalize results known for ℝ to ℂ. We give explicit expressions of fundamental solutions for Weinstein operators and their estimates near singularities, then we prove a Green's formula for PSA in the right half-plane H⁺ for Re m≺1. We establish a new decomposition theorem for the PSA in any annular domains for ℂ. In particular, using bipolar coordinates, we prove for annuli that a family of solutions for PSA equation in terms of associated Legendre functions of first and second kind is complete. For ℝ, we show that this family is even a Riesz basis in some non-concentric circular annulus. In the second part, basing on a method due to A. S. Fokas, we give formulas for PSA in a circular domain of H⁺ when m is an integer. These representations are obtained by solving a Riemann-Hilbert problem on the complex plane or on a Riemann surface with two sheets according to the parity of m. In the last part, we study the pseudo-holomorphic functions, i.e. solutions of the complex equation ̄∂w=α ̄w, with α ∈ L^r, 2 ≤ r ≺ ∞. We extend the Bers similarity principle and a converse of this principle to the critical regularity case r=2. We establish well-posedness of Dirichlet problem in smooth domains with weighted L^p boundary data for 2-D isotropic conductivity equations whose coefficients have logarithm in the Sobolev space W^{1,2}.


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