Définition et analyse statistique d'une mesure d'intégrité pour données GPS-EGNOS

Definition and statistical analysis of an integrity measure for GPS-EGNOS data

• Auteur / Autrice : Jérémie Bureau
• Direction : Jean-Michel Loubès, Fabrice Gamboa
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Valeurs extrêmes, Théorie des

GPS

Mots clés libres

Gnss

Gps

Intégrité

Théorie des valeurs extrêmes

Quantile extrême

Dépendance temporelle

Approximation point selle

Résumé

Parmi les applications GNSS (Global Navigation Satellite System) existantes ou en développement, certaines dont l'aviation, nécessitent de hautes performances en termes de précision de positionnement et de fiabilité. Ces performances critiques sont évaluées à l'aide d'outils probabilistes et le problème d'appréciation de la précision ou de la fiabilité du système (intégrité) peut être vu comme une estimation de quantile. Ce problème inverse nécessite la connaissance de la fonction de répartition des observations, ce qui n'est pas le cas lorsque l'on travaille sur des données réelles. Il faut alors utiliser des techniques statistiques pour l'estimer. Les exigences spécifiques à certaines applications, comme par exemple l'atterrissage d'un avion, nécessitent des niveaux de quantiles très élevés atteignant des probabilités de l'ordre de 10^7. Ces probabilités correspondent à des fréquences d'occurrence d'événements rares, situés dans les queues de distribution. Les quantiles associés à de tels niveaux de probabilité sont qualifiés de quantiles extrêmes et se situent le plus souvent au-delà du domaine des observations. Nous proposons dans cette thèse deux méthodes d'estimation de quantiles extrêmes peu employées dans le domaine du GNSS. La première est une application des modèles issus de la théorie des extrêmes et plus particulièrement du modèle à dépassement de seuil POT (Peak Over Threshold). Cette théorie fournit une classe de modèles permettant l'extrapolation de l'observé vers le non observé et ainsi la caractérisation des événements rares qui peuvent ne jamais avoir été observés. La deuxième méthode fournit une approximation de la décroissance de la queue d'une distribution au moyen de techniques analytiques adaptées à un cadre statistique: il s'agit de la méthode du point selle. Ces deux techniques de caractérisation des fonctions de répartition sont valables sous certaines hypothèses de stationnarité et d'indépendance des observations; or les données GPS ne vérifient pas toujours ces conditions. Dans ce travail, nous proposons des méthodes statistiques pour stationnariser les données afin d'utiliser les modèles d'estimation de quantiles extrêmes dans un cadre adéquat. A partir des outils décrits dans cette thèse, nous fournissons un protocole d'analyse statistique d'intégrité. Les problématiques de calibration de ces outils sont traitées par des processus automatisés dans une plateforme d'analyse de données, support logiciel développé pour cette étude.

Among the GNSS (Global Navigation Satellite System) applications currently used or in development, some of them require high performances in terms of precise positioning and reliability for safety of life. These critical performances are evaluated using statistical tools, and the problem of measuring the position accuracy or the system reliability (integrity) can be modeled as a quantile estimation. This inverse problem requires the knowledge of the cumulative distribution function of the observations. This is not possible when we have to study real data, then it becomes necessary to use statistical techniques to estimate this function. Specific safety of life applications, such as an airborne precision approach, require very high levels of quantiles which probabilities can reach 10^7. These probabilities correspond to frequencies of rare events occurrence, located in the distribution tails. Quantiles associated to such levels of probability are qualified as extreme quantiles and are generally located beyond the observations domain. We propose in this work two methods of extreme quantile estimation seldom used in the GNSS field. The first one is a direct application of the models stemming from extreme values theory and more particularly from the model of excesses over a threshold called POT (Peak Over Threshold). This theory provides a class of models allowing an extrapolation from the observed domain to the unobserved domain and then the characterization of rare events which never have been observed. The second method supplies an approximation for the decreasing of a distribution tail by the use of analytical techniques adapted to a statistical framework. This method is called derived from saddle point approximation technics. These two techniques of tails distributions characterization are valid under certain hypothesis of stationnarity and independency of the observations. GPS data do not always satisfy these conditions. In this work, we propose statistical methods to reach these conditions allowing us to use the models of extreme quantile estimation in an adequate way. From the tools studied in this thesis, we outline a statistical analysis methodology for integrity measurement. The problems of calibrating these tools are treated by automated processes in a data analysis platform, software developed as a support for this study.