Equations hessiennes complexes

par Hoang-Chinh Lu

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Ahmed Zeriahi.

Soutenue en 2012

à Toulouse 3 .

mots clés

• Variété kählérienne compacte
• Variété homogène
• Fonctions (w,m)-sousharmoniques
• Opérateur hessien
• Capacité
• Estimée a priori
• Classes de Cegrell
• Solutions de viscosité
• Principe de comparaison
• Sup-convolution
• Inf-convolution
• Équations différentielles elliptiques
• Variétés kählériennes

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations hessiennes complexes localement sur Cn et globalement sur les variétés complexes compactes. Dans le premier chapitre, on étudie les classes d'énergie finie de type Cegrell sur un domaine m-hyperconvexe. On résout ensuite des équations hessiennes complexes dans ces classes avec des seconds membres "assez singuliers" par la méthode variationnelle. Dans le deuxième chapitre, on résout des équations hessiennes complexes dégénérées sur des variétés kählériennes compactes, avec un second membre dans Lp. Le troisième chapitre est consacré à l'approche par la méthode de la viscosité. C'est une méthode assez efficace pour résoudre des équations elliptiques dégénérées réelles du second ordre. Elle a été récemment utilisée dans le cas complexe. Elle nous permet d'obtenir un nouveau résultat d'existence et d'unicité dans le cas des variétés hermitiennes compactes homogènes.

Titre traduit

Complex hessian equations

Résumé

In this thesis we study the complex hessian equations locally in Cn and globally on compact manifolds. In the first chapter, we study finite energy classes of Cegrell's type on m-hyperconvex domain. We then use a varational method to solve the complex hessian equation with rather singular right hand side. In the second chapter, we solve a degenerate complex hessian equation on compact Kahler manifolds with the right hand side also depends on the unknown and belongs to some Lp space. The last chapter is devoted to a viscosity approach which is a very efficient method to solve real degenerate elliptic equations of second order. It is recently used in the complex case. This method allows us to obtain a new existence and uniqueness result in the case of hermitain homogeneous compact manifolds.