Étude mathématique et numérique de modèles homogénéisés de métamatériaux

Mathematical study and numerical approximation of homogenized metamaterials

• Auteur / Autrice : Pierre-Henri Cocquet
• Direction : Abderrahmane Bendali, Vincent Mouysset
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homogénéisation (équations différentielles)

Métamatériaux

Mots clés libres

Métamatériaux homogénéisés

Électromagnétisme

Acoustique

Élasticité linéaire

Approximation numérique

Développements asymptomatiques raccordés

Homogénéisation

Résumé

Dans la première partie des études des problèmes de propagation d'ondes en présence de métamatériaux homogénéisés tels que les équations de Maxwell, le systèmes de l'acoustique ou de l'élasticité linéaire. Nous établissons des résultats d'existence et d'unicité pour ces systèmes sous des hypothèses phénoménologiques sur le métamatériaux en accord avec certains modèles de la littérature. Nous abordons ensuite leurs approximations numériques. Nous présentons des résultats concernant les éléments finis pour l'approximation de l'équation de Helmholtz qui montrent que ce schéma peut ne pas converger en présence de métamatériaux. On propose alors un schéma Galerkin Discontinu dont on montre numériquement sa convergence sur des exemples de métamatériaux

In the first part, we investigate wave propagation problems with homogenized metamaterials for Maxwell's equations and acoustics or linear elasticity systems. We establish that each of these systems is well-posed under assumptions that are relevant for some models already designed in the literature. We next tackle their numerical approximation. We give results showing that the finite element method for the approximation of Helmholtz equation, when metatmaterials are involved, may not converges. We propose then a numerical scheme, the EF-AL schemen which can be with metamaterials and we prove that it converges as soon as the considered problem is well-posed. We finish studying the discontinuous galerkin scheme. We show numerically its convergence for some examples of metamaterials.