Fonctions double Gamma liées aux systèmes de racines

Double gamma functions connected to the root systems

• Auteur / Autrice : Véronique Cohen-Aptel
• Direction : Vadim Schechtman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Racines d'un nombre

Systèmes intégrables

Fonctions gamma

Mots clés libres

Fonction Gamma

Fonction double Gamma

Systèmes de racines

Vecteur de Perron-Frobenius

Systèmes intégrables

Résumé

Cette thèse, composée de 11 chapitres, répartis en trois parties, aborde les fonctions double Gamma liées aux systèmes de racines. La première partie regroupe les théorèmes classiques sur la fonction G d'Euler ; y sont ajoutés des résultats spécifiquement développés pour ce travail, qui seront utilisés dans les deux autres parties. Sont également étudiées sur un modèle similaire (relation fonctionnelle, formules intégrales, valeurs limites) la fonction double Gamma et la fonction Gamma q- analogue. La deuxième partie expose les variantes de Double Gamma en physique : sont ainsi étudiées, la fonction Gammab, double-sinus Sb, la fonction gamma des frères Zamolodchikov, la fonction de Lukyanov-Zamolodchikov et les fonctions de Fateev liées aux matrices de Cartan. Une partie de ces résultats, énoncés par les physiciens, est démontrée. La dernière partie s'intéresse aux formules de Fateev et donne une preuve par calcul, du théorème de Fateev pour les systèmes du type A,D,E et aussi B,C,F,G en n'utilisant que la formule classique du produit de Gamma. Le chapitre 9 donne un théorème de Fateev q-analogue pour A, B, C, D, G2. Le chapitre 10 permet d'exprimer certains vecteurs propres de matrices de Cartan en termes de produits de valeurs de la fonction G. Les cas affines et finis sont démontrés.

This thesis, consisting of 11 chapters, is divided into three parts and addresses the double Gamma functions associated with root systems. The first part includes the classical theorems on the Euler G function ; added are results, specifically developed for this work, which will be used in the other two parts. According a similar pattern (functional equation, integral formulas, limiting values) the double Gamma function and the q-Gamma function are also studied. The second part describes the Double Gamma versions in physics : the Gammab function, double sine Sb function, the gamma function of the brothers Zamolodchikov, the Lukyanov-Zamolodchikov and Fateev functions related to Cartan matrices, are studied. A part of these results, expressed by the physicists, is demonstrated. The last part deals with Fateev formulas and gives proof of the Fateev theorem by direct calculation, for systems of type A, D, E, B, C, F, G, using only the classical formula of the product of Gamma. Chapter 9 gives a q-analogue theorem of the Fateev formula for the systems of type A, B, C, D, G2. Chapter 10 allows us to express some eigenvectors of the Cartan matrix in terms of products of values of the G function. Finite and affine cases are demonstrated.