Un nouvel opérateur de Laplace en géométrie de Finsler et orbites périodiques de flots d'Anosov

A new Laplace operator in Finsler geometry and periodic orbits of Anosov flows

• Auteur / Autrice : Thomas Barthelmé
• Direction : Patrick Foulon, Boris Hasselblatt
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/01/2012
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Pierre Bourguignon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry Barbot, Athanase Papadopoulos
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Colbois, François Ledrappier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laplacien

Anosov, Flots d'

Finsler, Espaces de

Mots clés libres

Géométrie de Finsler

Laplacien

Flots d'anosov

Finsler spaces

Laplacian operator

Anosov flows

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons une nouvelle généralisation de l'opérateur de Laplace en géométrie de Finsler. Cette opérateur est défini en intégrant le long des fibres les dérivées directionnelles secondes d'une fonction par rapport à une mesure d'angle que nous construisons. Nous obtenons un opérateur différentiel d'ordre ..., elliptique, symétrique, et qui admet une bonne théorie spectrale. Nous calculons des exemples explicites de spectres pour des métriques de Katok-Ziller. En courbure négative, nous prouvons, grâce à un théorème d'Ancona que la frontière de Martin est Hölder-homéomorphe à la frontière visuelle. Ceci nous permet de déduire l'existence et l'ergodicité des mesures harmoniques pour cet opérateur. Dans la seconde partie, nous étudions les flots d'Anosov en dimension ... dont l'espace des feuilles est homéomorphe à .... Lorsque la variété est hyperbolique, Thurston démontra que le feuilletage (in)stable induit un flot ''orthogonal'' au premier. Nous utilisons ce second flot pour étudier les classes d'isotopie d'orbites périodiques du flot d'Anosov, ainsi que l'existence de cylindres plongés.

In the first part of this dissertation, we give a new definition of a Laplace operator for Finsler metric as an average, with regard to an angle measure, of the second directional derivatives. This operator is elliptic, symmetric with respect to the Holmes-Thompson volume, and coincides with the usual Laplace--Beltrami operator when the Finsler metric is Riemannian. We compute explicit spectral data for some Katok-Ziller metrics. When the Finsler metric is negatively curved, we show, thanks to a result of Ancona that the Martin boundary is Hölder-homeomorphic to the visual boundary. This allow us to deduce the existence of harmonic measures and some ergodic preoperties. In the second part of this dissertation, we study Anosov flows in 3-manifolds, with leaf-spaces homeomorphic to .... When the manifold is hyperbolic, Thurston showed that the (un)stable foliations induces an "orthogonal" flow. We use this second flow to study isotopy class of periodic orbits of the Anosov flow and existence of embedded cylinders.