Thèse soutenue

Approximation spectrale de matrices issues d’opérateurs discrétisés
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Auteur / Autrice : Ana Luisa Silva Nunes
Direction : Mario Paul Ahues BlanchaitPaulo Beleza de Vasconcelos
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 11/05/2012
Etablissement(s) : Saint-Etienne en cotutelle avec Universidade do Porto
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences Ingénierie Santé (Saint-Etienne)
Jury : Président / Présidente : Jorge Rocha
Examinateurs / Examinatrices : Teresa Diogo, Maria Joana Soares, Laurence Grammont

Résumé

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Cette thèse considère la solution numérique d'un problème aux valeurs propres de grandes dimensions, dans lequel l'opérateur est dérivé d'un problème de transfert radiatif. Ainsi, cette thèse étudie l'utilisation de matrices hiérarchiques, une représentation efficace de tableaux, très intéressante pour une utilisation avec des problèmes de grandes dimensions. Les matrices sont des représentations hiérarchiques de structures de données efficaces pour les matrices denses, l'idée de base étant la division d'une matrice en une hiérarchie de blocs et l´approximation de certains blocs par une matrice de petite caractéristique. Son utilisation permet de diminuer la mémoire nécessaire tout en réduisant les coûts informatiques. L'application de l'utilisation de matrices hiérarchique est analysée dans le contexte de la solution numérique d'un problème aux valeurs propres de grandes dimensions résultant de la discrétisation d'un opérateur intégral. L'opérateur est de convolution et est défini par la première fonction exponentielle intégrale, donc faiblement singulière. Pour le calcul informatique, nous avons accès à HLIB (Hierarchical matrices LIBrary) qui fournit des routines pour la construction de la structure hiérarchique des matrices et des algorithmes pour les opérations approximative avec ces matrices. Nous incorporons certaines routines comme la multiplication matrice-vecteur ou la decomposition LU, en SLEPc (Hierarchical matrices LIBrary) pour explorer les algorithmes existants afin de résoudre les problèmes de valeur propre. Nous développons aussi des expressions analytiques pour l'approximation des noyaux dégénérés utilisés dans la thèse et déduire ainsi les limites supérieures d'erreur pour ces approximations. Les résultats numériques obtenus avec d'autres techniques pour résoudre le problème en question sont utilisés pour la comparaison avec ceux obtenus avec la nouvelle technique, illustrant l'efficacité de ce dernier