Conditionnement de processus markoviens

Conditioning of Markov processes

• Auteur / Autrice : Jean-Louis Marchand
• Direction : Bernard Delyon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation, Méthodes de

Assimilation de données (géophysique)

Observations manquantes (statistique)

Probabilités

Markov, Processus de

Résumé

Le but de cette thèse est de décrire la loi conditionnelle d'un processus markovien multidimensionnel connaissant la valeur de certaines combinaisons linéaires de ses coordonnées à des instants donnés. La description recherchée consiste à mettre en évidence un processus de même type, facile à simuler, dont la loi est équivalente à la loi conditionnelle ciblée. La classe principalement étudiée est celle des processus à diffusion. Dans un premier temps, des techniques de grossissement de filtration (Jacod 1985) permettent de déterminer les paramètres de l'équation différentielle stochastique vérifiée par le processus conditionnel. Cependant, on s'aperçoit alors que la dérive n'est pas explicite, car celle-ci dépend des densités de transition du processus initial, inconnues en général. Ceci rend impossible,une simulation directe par exemple à l'aide d'un schéma d'Euler. Afin de pallier ce défaut, nous proposons une alternative, dans l'esprit de Delyon et Hu (2006). L'approche consiste à proposer une équation différentielle stochastique de paramètres explicites, dont la solution est de loi équivalente à la loi conditionnelle. Une application en collaboration avec Anne Cuzol et Etienne Mémin de l'INRIA, dans le cadre des écoulements fluides est également présentée. On applique la méthode proposée précédemment à un modèle stochastique inspiré des équations de Navier-Stokes. Enfin, la classe des processus markoviens à sauts est également abordée.

The aim of this work is to describe the conditional law of a multidimensional Markov process knowing linear combinations of its coordinates at given times. We are looking for a process of the same kind, whose law is equivalent to the targeted one. The diffusion processes represent the most studied process class in this thesis. We first use techniques of enlargement of filtrations (Jacod 1985) in order to determine the parameters of the conditional stochastic differential equation (SDE). This theoretical result does not allow direct simulation of conditional paths because of its drift. Indeed, this one depends on the transition density functions of the initial diffusion, and those functions are generally unknown. That is why, we provide an alternative, inspired by a Delyon & Hu(2006), consisting in proposing a SDE, whose law is equivalent to the targeted conditional distribution. Moreover, this SDE possesses explicit coefficents, and is easy to simulate thanks to an Euler scheme. Same kind of results are also established in the case of realpoint processes. An application in collaboration with Anne Cuzol and Etienne Mémin from the INRIA is also presented. It consists in applying the precedent result to a model, whose construction is based on 2D-Navier-Stokes equations.