Combinatoire algébrique et géométrique des nombres de Hurwitz

Algebraic and geometric combinatorics of Hurwitz numbers

• Auteur / Autrice : Marc Sage
• Direction : Jean-Christophe Novelli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 22/06/2012
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (1997-2009)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Biane
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Christophe Novelli, Sylvie Corteel, Vlady Ravelomanana
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Gilles Schaeffer, Dimitri Zvonkine

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Permutations (mathématiques)

Théorie des nombres

Groupes, Théorie des -- Symétriques

Factorisation

Mots clés libres

Nombres d'Hurwitz

Factorisations transitives

Asymptotique

Formule ELSV

Permutations scindées

Multipartitions

Hurwitz numbers

Transitive factorisations

Asymptotics

ELSV formula

Split permutations

Multipartitions

Résumé

Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz

This thesis is meant to be a digest, adressed to the combinatorician community, of some tools developped to tackle the problem of Hurwitz, as well as an exhibition of the thus-harvested results. The problem of Hurwitz consists of computing, in a symmetric group, the (so-called Hurwitz) number of transitive factorisations of the identity permutation whose factors have prescribed cyclic types. We first describe the topological layout of this problem through the enumeration of the ramified coverings of the sphere. We also present a natural algebraic frame, the monoid of split permutations, which allows to describe Hurwitz numbers as structure coeffcients of the algebra of this monoid, more precisely of the subalgebra spanned by the conjugacy classes, whose natural basis is indexed by multipartitions (or split partitions). The representation theory of this algebra yields an algoithm to compute one-partition Hurwitz numbers whose complexity (minimal, uniform and exponential) is far better than that of a naive edging about. This algebraic frame yields a formula describing several-partition Hurwitz series as polynomials in one-partition Hurwitz series. We secondly present the geometric frame in which are been expressed on the one hand the ELSV formula, which describes one-partition Hurwitz numbers as functions of some integrals, one the other hand a theorem of M. Kazarian expressing one-partition Hurwitz series as polynomials in some formal power series whose asymptotics is completly understood. Once the using of this integration frame has been described, we derive the asymptotics of all Hurwitz numbers