Décomposition du motif d'un schéma abélien universel

Motivic decomposition for universal abelian schemes

• Auteur / Autrice : Giuseppe Ancona
• Direction : Jörg Wildeshaus
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schémas en groupes

Conjecture de Bloch

Motifs (mathématiques)

Hodge, Théorie de

Shimura, Variétés de

Résumé

Soient S = Sk(G, x) une variété de Shimura de type PEL et A le schéma abélien universel dessus. Soit ƒ : Ar → S le produit fibré de A sur celle-ci. La cohomologie relative Rⁱ ƒ*ℚAr est canoniquement identifiée avec l’image, par un foncteur additif, d’une représentation explicite Wi,r de G, de sorte que, chaque décomposition de Wi,r en sous-représentations, induise une décomposition de Rⁱ ƒ*ℚ Ar en sous-variations de structures de Hodge. Notre résultat principal affirme que toutes telles décompositions se relèvent canoniquement en décompositions du motif de Ar dans la catégorie CHM(S)ℚ des motifs de Chow relatifs. Pour certaines variétés PEL, comme celle de Siegel, ceci revient à relever aux motifs toutes les décompositions de Rⁱ ƒ*ℚ Ar en sous-variations de structures de Hodge. Nous obtenons aussi un raffinement de la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes assez génériques parmi celles qui vérifient un certain problème modulaire.

Let S = Sk(G, x) be a Shimura variety of PEL type and A the universal abelian scheme over S. Let ƒ : Ar → S be the fiber product of A over S. The relative cohomology Rⁱ ƒ*ℚ Ar is canonically identified with the image, via an additive functor, of an explicit representation Wi,r de G, in such a way that each decomposition of Wi,r into subrepresentations induces a decomposition of Rⁱ ƒ*ℚ Ar into subvariations of Hodge structures. Our main result is that every such decomposition lifts canonically to a decomposition of the motive of Ar in the category CHM(S)ℚ of relative Chow motives. For some PEL varieties, such as the Siegel one, this means that we lift to motives all decompositions of Rⁱ ƒ*ℚAr into subvariations of Hodge structures. We also obtain a refinement of the Hodge conjecture for abelian varieties which are generic amongst those which satisfy a certain moduli problem.