Eléments de carre central dans les algèbres d’exposant deux

Square-central elements in algebras of exponent two

• Auteur / Autrice : Demba Barry
• Direction : Anne Quéguiner-Mathieu, Jean-Pierre Tignol
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie galoisienne

Valuations, Théorie des

Clifford, Algèbres de

Formes quadratiques

Algèbres simples centrales

Résumé

Cette thèse porte sur la décomposabilité des algèbres centrales simples d'exposant 2, sur des corps de caractéristique différente de 2, à travers l’étude des éléments de carré central. Dans un premier temps, nous étendons la théorie des espaces de similitudes au cadre général des algèbres à involution et après nous donnons une caractérisation de la décomposabilité totale des algèbres à involution en termes d’existence de (s, t)-familles maximales. L'étude des propriétés d'extension des espaces de similitudes nous conduit à l'étude des conditions pour lesquelles un élément de carré central, dans une algèbre d'exposant 2, est dans une sous-algèbre de quaternions. Il s'avère que l'existence dans une algèbre à division de dimension 64 et d'exposant 2, d'un élément de carré central qui ne soit dans aucune sous-algèbre de quaternions est liée à l'existence d'une algèbre indécomposable d'exposant 2. Des exemples d’algèbres indécomposables existent dans la littérature, mais tous ces exemples sont construits sur des corps de dimension cohomologique supérieure ou égale à 5. Comme application, nous améliorons ces exemples en construisant un exemple d'algèbre indécomposable d'exposant 2 et de dimension 64 sur un corps de dimension cohomologique 3 (qui est la plus petite possible) ; un autre exemple est donné en dimension cohomologique 4.

In this thesis, we further investigate the decomposability of exponent 2 central simple algebras over fields of characteristic different from 2. The problem will be addressed through the study of square-central elements. We first extend the notion of spaces of similitudes to the wide framework of algebras with involution, later we give a characterization of the totally decomposable involutions in terms of the existence of maximal (s, t)-families. The study of expansion properties of spaces of similitudes leads us to study conditions under which a square-central element, in an exponent 2 algebra, lies in a quaternion subalgebra. It turns out that the existence, in a 64-dimensional division algebra of exponent 2, of a square-central element which is not in a quaternion subalgebra is tied to the existence of an indecomposable algebra of exponent 2. Examples of indecomposable algebras of exponent 2 exist in the literature, but they are all constructed over fields of cohomological dimension greater than or equal to 5. As an application, we improve these examples by constructing an example of 64-dimensional indecomposable algebra of exponent 2 over a field of cohomological dimension as small as possible (that is 3) ; another example is given in cohomological dimension 4.