Équations de Schrödinger à données aléatoires : construction de solutions globales pour des équations sur-critiques

Random data for Schrödinger equations : construction of global solutions for supercritical equations

• Auteur / Autrice : Aurélien Poiret
• Direction : Nicolas Burq
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/12/2012
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Patrick Gérard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Burq, Patrick Gérard, Isabelle Gallagher, Massimiliano Gubinelli, Rémi Carles, Nikolay Tzvetkov
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Isabelle Gallagher, Massimiliano Gubinelli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Point fixe, Théorème du

Probabilités

Cauchy, Problème de

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Données aléatoires

Équations de Schrödinger sur-critiques

Estimées bilinéaires de type Bourgain

Oscillateur harmonique

Solutions globales

Bourgain type bilinear estimates

Global solutions

Harmonic oscillator

Random data

Supercritical non linear Schrödinger equations

Résumé

Dans cette thèse, on construit un grand nombre de solutions globales pour de nombreuses équations de Schrödinger sur-critiques. Le principe consiste à rendre la donnée initiale aléatoire, selon les mêmes méthodes que Nicolas Burq, Nikolay Tzvetkov et Laurent Thomann afin de gagner de la dérivabilité.On considère d'abord l'équation de Schrödinger cubique en dimension 3. En partant de variables aléatoires gaussiennes et de la base de L^2(R^3) formée des fonctions d'Hermite tensorielles, on construit des ensembles de solutions globales pour des données initiales qui sont moralement dans L^2(R^3). Les points clefs de la démonstration sont l'existence d'une estimée bilinéaire de type Bourgain pour l'oscillateur harmonique et la transformation de lentille qui permet de se ramener à prouver l'existence locale de solutions à l'équation de Schrödinger avec potentiel harmonique.On étudie ensuite l'effet régularisant pour prouver un théorème analogue où le gain de dérivée vaut 1/2-2/(p-1) où p correspond à la non linéarité de l'équation. Le gain est donc plus faible que précédemment mais la base de fonctions propres quelconques. De plus, la méthode s'appuyant sur des estimées linéaires, on établit le résultat pour des variables aléatoires dont la queue de distribution est à décroissance exponentielle.Enfin, on démontre des estimées multilinéaires en dimension 2 pour une base de fonctions propres quelconques ainsi que des inégalités de types chaos de Wiener pour une classe générale de variables aléatoires. Cela nous permet d'établir le théorème pour l'équation de Schrödinger quintique, avec un gain de dérivée égal à 1/3, dans le même cadre que la partie précédente.

In this thesis, we build a large number of global solutions for many supercritical Schrödinger equations. The method is to make the random initial data, using the same methods that Nicolas Burq, Nikolay Tzvetkov and Laurent Thomann in order to obtain differentiability. First, we consider the cubic Schrödinger equation in three dimensional. Using Gaussian random variables and the basis of L^2(R^3) consists of tensorial Hermite functions, we construct sets of solutions for initial data that are morally in L^2(R^3). The main ingredients of the proof are the existence of Bourgain type bilinear estimates for the harmonic oscillator and the lens transform which can be reduced to prove a local existence of solutions for the Schrödinger equation with harmonic potential. Next, we study the smoothing effect to prove an analogous theorem which the gain of differentiability is equalto 1/2-2/(p-1) which p is the nonlinearity of the equation. This gain is lower than previously but the basis of eigenfunctions are general. As the method uses only linear estimates, we establish the result for a general class of random variables.Finally, we prove multilinear estimates in two dimensional for a basis of ordinaries eigenfunctions and Wienerchaos type inequalities for classical random variables. This allows us to establish the theorem for the quinticSchrödinger equation, with a gain of differentiability equals to 1/3, in the same context as the previous chapter.