Fragmentation et propriétés algébriques des groupes d'homéomorphismes

Fragmentation and algebraic properties of homeomorphisms groups

• Auteur / Autrice : Emmanuel Militon
• Direction : Frédéric Le Roux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/10/2012
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : François Béguin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Le Roux, François Béguin, Étienne Ghys, Patrice Le Calvez, Frédéric Paulin, Pierre Py
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Étienne Ghys, Shigenori Matsumoto

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes, Théorie géométrique des

Systèmes dynamiques

Surfaces (mathématiques)

Homéomorphismes

Transformations, Groupes de

Dynamique topologique

Difféomorphismes

Mots clés libres

Difféomorphisme

Dynamique topologique

Groupes de transformation

Homéomorphisme

Surfaces

Systèmes dynamiques

Théorie géométrique des groupes

Diffeomorphism

Dynamical systems

Geometric group theory

Homeomorphism

Surfaces

Topological dynamics

Transformation groups

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à diverses propriétés algébriques des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes de variétés. On appelle fragmentation la possibilité d'écrire un homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Tout d'abord, nous étudions la longueur des commutateurs sur le groupe des homéomorphismes du tore et de l'anneau, ainsi que la norme de fragmentation, qui associe à tout homéomorphisme le nombre minimal de facteurs nécessaires pour écrire cet homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Dans une deuxième partie de la thèse, nous abordons una autre propriété algébrique des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes : la distorsion. Celle-ci est reliée de manière surprenante à des propriétés de fragmentation des homéomorphismes.

In this thesis, we are interested in various algebraic properties of groups of homeomorphisms and diffeomorphisms of manifolds. We call fragmentation the possibility to write a homeomorphism as a composition of homeomorphisms supported in balls. First, we study the commutator length on the group of homeomorphisms of the torus and of the annulus, as well as the fragmentation norm, which associates to any homeomorphism the minimal number of factors necessary to write this homeomorphism as a composition of homeomorphisms supported in balls. In a second part of this thesis, we deal with another algebraic property of homeomorphism and diffeomorphism groups: the distortion. This last notion is surprisingly related to fragmentation properties of homeomorphisms.