Géométrie de Cartan fondée sur la notion d'aire et application du problème d'équivalence

Cartan's geometry based on the concept of area and application of equivalence problem

• Auteur / Autrice : Moheddine Imsatfia
• Direction : Frédéric Hélein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie

Cartan, Élie (1869-1951)

Calcul des variations

Monge-Ampère, Équations de

Géométrie différentielle

Résumé

Mon travail de thèse consiste à comprendre une géométrie introduite par Cartan en 1933. La géométrie de Finsler présente de nombreuses analogies avec cette théorie. Nous avons étudié les grandes lignes de cette géométrie. Le point de départ de Cartan qui est analogue à celui qui conduit à la géométrie finslérienne, est d'imaginer l'espace comme étant un lieu ''d'éléments de contact'', un élément étant la donnée d'un point M dans une variété de dimension n et d'un hyperplan H passant par ce point et orienté dans l'espace tangent en ce point. Nous avons ainsi défini la géométrie de Cartan fondée sur la notion d'aire et dans un premier temps je me suis intéressé à la notion d'orthogonalité dans cette géométrie. La méthode de Cartan pour étudier le problème d'équivalence est un outil puissant qui est implicitement décrit dans cette géométrie. Nous avons ensuite appliqué cette méthode aux équations de Monge-Ampère (cas elliptique), en s'inspirant des travaux de R. Bryant, P. Griffiths et D. Grossman. Plusieurs faits ne sont pas encore suffisamment clairs pour disposer d'un dictionnaire évident entre ces travaux et celui donné par Cartan.

The main objective of this thesis is to present a geometry given by Cartan in 1933. The Finsler Geometry has many analogies with this theory. We studied the outline of this geometry. The starting point of Cartan is similar to that which leads to the Finsler geometry, is to imagine the space to be made of ''contact elements'', an element being given by a point M in a manifold of dimension n and an oriented hyperplan passing through this point in the tangent space. Thus we have defined Cartan's geometry based on the concept of area. In a first step, I was interested in the notion of orthogonality in this geometry. Cartan's method to state the equivalence problem is a crucial tool. After, we applied this method to Monge-Ampere equations (elliptic case). Hence following the work of R. Bryant, P. Griffiths and D. Grossman in order to clarify the strategy of Caran. However, many points have to be explored in order to have a clear dictionary between a modern language as the one used by Bryant, Griffiths and Grossman and that of Cartan.