Braided objects : unifying algebraic structures and categorifying virtual braids

• Auteur / Autrice : Victoria Lebed
• Direction : Marc Rosso
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces vectoriels topologiques

Produits tensoriels

Algèbre homologique

Théorie des tresses

Résumé

Dans cette thèse on développe une théorie générale des objets tressés et on l'applique à une étude de structures algébriques et topologiques. La partie I contient une théorie homologique des espaces vectoriels tressés et modules tressés, basée sur le coproduit de battage quantique. La construction d'un tressage structurel qui caractérise diverses structures (auto-distributives (AD), associatives, de Leibniz) permet de généraliser et unifier des homologies familières. Les hyperbords de Loday, ainsi que certaines opérations homologiques, apparaissent naturellement dans cette interprétation. On présente ensuite des concepts de système tressé et module multitressé. Appliquée aux bigèbres, bimodules, produits croisés et (bi)modules de Hopf et de Yetter-Drinfeld, cette théorie donne leurs interprétations tressées, homologies et actions adjointes. La notion de produits tensoriels multitressés d'algèbres donne un cadre unificateur pour les doubles de Heisenberg et Drinfeld, ainsi que les algèbres X de Cibils-Rosso et Y et Z de Panaite. La partie III est orientée vers la topologie. On propose une catégorification des groupes de tresses virtuelles en termes d'objets tressés dans une catégorie symétrique (CS). Cette approche de double tressage donne une source de représentations de VBn et un traitement catégorique des racks virtuels de Manturov et de la représentation de Burau tordue. On définit ensuite des structures AD dans une CS arbitraire et on les munit d'un tressage. Les techniques tressées de la partie I amènent alors à une théorie homologique des structures AD catégoriques. Les algèbres associatives, de Leibniz et de Hopf entrent dans ce cadre catégorique.

This thesis is devoted to an abstract theory of braided objects and its applications to a study of algebraic and topological structures. Part I presents our general homology theory for braided vector spaces and braided modules, based on the quantum co-shuffle coproduct. The construction of structural braidings characterizing different algebraic structures (self-distributive (SD) structures, associative / Leibniz algebras, their representations) allows then to generalize and unify familiar homologies. Loday's hyper-boundaries and certain homology operations are efficiently treated via our braided tools. We further introduce a concept of braided system and multi-braided module over it. This enables a thorough study of bialgebras, crossed products, bimodules, Yetter-Drinfel'd and Hopf (bi)modules : their braided interpretation, homologies and ajoint actions. A theory of multi-braided tensor products of algebras gives a unifying context for Heisenberg and Drinfel'd doubles, the algebras X of Cibils-Rosso and Y and Z of Panaite. Part III is topology-oriented. We start with a hom-set type categorification of virtual braid groups in terms of braided objects in a symmetric category (SC). This double braiding approach provides a source of representations of VBn and a new categorical treatment for Manturov's virtual racks and the twisted Burau representation. We then define SD structures in an arbitrary SC and endow them with a braiding. The associativity and Jacobi identities in an SC are interpreted as SD conditions. Hopf algebras enter in the SD framework as well. Braided techniques from part I give a homology theory of categorical SD structures.