Structure des pavages, droites discrètes 3D et combinatoire des mots

par Sébastien Labbé

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Valérie Berthé et de Srecko Brlek.

Soutenue en 2012

à Paris 7 en cotutelle avec l'Université du Québec à Montréal .

mots clés

• Analyse combinatoire
• Géométrie discrète

Résumé

Cette thèse, constituée d'une série d'articles, considère des questions issues de la géométrie discrète en les traitant du point de vue de la combinatoire des mots qui s'avère un outil puissant et approprié pour les résoudre. Nous utilisons les mots soit pour représenter un chemin dans S\ZZA2S ou S\ZZA3S, soit pour coder la suite des virages d'un chemin ou le contour d'une figure discrète fermée. Parmi les thèmes abordés, on compte les pavages du plan par polyominos, la notion de complexité en facteurs palindromes et la génération de droites discrètes 3D. La première partie concerne les pavages du plan où nous étudions le nombre de pavages réguliers du plan par une tuile. Il s'avère que certaines tuiles peuvent paver le plan de deux façons distinctes en ayant quatre tuiles adjacentes. Elles sont appelées doubles carrées. Nous démontrons d'abord qu'il y a au plus deux tels pavages réguliers par une tuile. Ensuite, nous considérons deux familles particulières de tuiles doubles carrées : les tuiles de Christoffel et les tuiles de Fibonacci. Ces deux familles décrivent les plus petits exemples de tuiles doubles carrées et peuvent être définies à partir des mots de Christoffel et du mot de Fibonacci par des règles de substitutions et de concaténation. Les tuiles de Fibonacci définissent aussi une fractale, obtenue par un chemin auto-évitant, dont nous avons calculé plusieurs statistiques dont le rapport de l'aire de la fractale sur l'aire de son enveloppe convexe. Dans l'article suivant, nous démontrons que tout double carré indécomposable est invariant sous une rotation de 180 degrés. Cette propriété géométrique est équivalente au fait que le mot de contour de la tuile se factorise en un produit de palindromes. Notre preuve repose sur une méthode de génération exhaustive des tuiles doubles carrées. La deuxième partie concerne la complexité palindromique - le nombre de facteurs palindromes distincts -, un sujet propre à la combinatoire des mots. Nous y considérons quatre classes de complexité palindromique qui découlent naturellement de la notion de défaut. Nous caractérisons notamment les mots de complexité palindromique minimale sur un alphabet à deux lettres et nous démontrons que les mots infinis obtenus par codages de rotations sur deux intervalles atteignent la complexité palindromique maximale. Dans une troisième partie, nous proposons une méthode basée sur des algorithmes de fractions continues multidimensionnelles pour la génération de droite discrètes 3D S6SS-connexes. Les expérimentations illustrent que la complexité en facteurs des mots ainsi générés serait linéaire. Cela se compare avantageusement aux autres définitions de droites discrètes 3D S6S-connexes dont la complexité en facteurs est quadratique. Sept articles sont inclus dans la thèse.

Titre traduit

Tiling structure, 3D discrete lines and combinatorics on words

Résumé

This thesis, consisting of a series of articles, considers issues arising in discrete geometry by treating them in terms of combinatorics of words: a powerful and appropriate tool to address them. We use words to represent either a path in S\ZZA2 S or S\ZZA3 S, either to encode the sequence of turns of a path or represent the boundary of a discrete closed figure. Topics covered include tilings of the plane by copies of a polyomino, the notion of palindrome complexity and generation of 3D discrete lines. The first part concerns the tilings of the plane where we study the number of regular tilings of the plane by a tile. It turns out that some polyominoes can tile the plane in two distinct ways with four tiles adjacent. They are called double square. We first demonstrate there are at most two such regular tilings by a tile. Next, we consider two particular families of double squares: Christoffel tiles and Fibonacci tiles. These two families describe the smallest examples of double squares and can be defined from the Christoffel words and the Fibonacci word by rules of substitution and concatenation. The Fibonacci tiles also define a fractal, obtained by the limit of a sequence of closed self-avoiding path, we calculated several statistics including the ratio of the area of the fractal on the area of its convex hull. In the next article, we demonstrate that indecomposable double squares are invariant under a rotation of 180 degrees. This geometric property is equivalent to the fact that their boundary word can be factorized into a product of palindromes. Our proof is based on an exhaustive method of generating double squares. The second part concerns the palindromic complexity - the number of distinct palindrome factors - a proper subject of combinatorics on words. We consider four classes of palindromic complexity arising naturally from the notion of palindromic defect. We characterize words on a two-letter alphabet having a minimal palindromic complexity and we show that the infinite words obtained by codings of rotations on two intervals reach the maximum palindromic complexity. In the third part, we propose a method based on multidimensional continued fraction algorithms for the generation of 3D discrete lines S6S-connected. Experiments illustrate that the complexity of factors in words and generated would be linear. This compares favorably with other definitions of 3D discrete S6S-connected lines whose factor complexity is quadratic. Seven articles are included in the thesis.