Philosophie générale des mathématiques : techniques et métaphysiques de l'Irréversible-synthétiqueProblème de Riemann-Helmholtz-LieThéorie des groupes continus de transformations (d'après l'oeuvre de Sophus Lie et Friedrich Engel)

Techniques and metaphysics of the Irreversible-synthetical ; Riemann-Helmholtz-Lie problem ; Theory of continuous transformation groups (after the works of Sophus Lie and Friedrich Engel)

• Auteur / Autrice : Joël Merker
• Direction : Jean-Jacques Szczeciniarz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Épistémologie, histoire des sciences et des techniques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Helmholtz, Hermann von (1821-1894)

Engel, Friedrich (1861-1941)

Lie, Sophus (1842-1899)

Einstein, Albert (1879-1955)

Géométrie -- Philosophie

Géométrie de Riemann

Résumé

(I) La technique mathématique incorpore en permanence des questionnements qui ouvrent sur des métaphysiques transversales : métaphysique des notations ; métaphysique de l'expansion symbolique ; métaphysique du caractère irréversiblement et nécessairement synthétique du Calcul. Sur un plan trans-historique, l'exigence ubiquitaire et reproductible de généralisation manifeste un autre aspect de l'irréversibilité du questionnement mathématique, car ce qui est technique exprime et étudie les questionnements dans leur complexité ramifiée-démultipliée. De plus, caractère auto-compulsif du Calcul, nécessité interne des combinatoires, gouvernance transformationnelle des symboles et genèse incontournable du Multiple par l'Un incitent à entrevoir une morphogenèse a posteriori du Concept dans et par le Calcul. Enfin, l'universalité des ouvertures mathématiques montre que les connaissances demeurent potentielles et que les totalisations cachent toujours des connaissances non structuralistes qui sont d'un niveau synthétique supérieur. (II) Est-il possible de caractériser l'espace euclidien tridimensionnel qui s'offre si immédiatement à l'intuition physique au moyen d'axiomes mathématiques simples et naturels ? Plus généralement, est-il possible de caractériser les espaces de Bolyai-Lobatchevskii à courbure constante négative, ainsi que les espaces de Riemann à courbure constante positive, à l'exclusion de toute autre géométrie contraire à une intuition directe ? Les travaux de Sophus Lie, et notamment la Theorie der Transformationsgruppen (2100 pages, 1884--93) écrite en collaboration avec Friedrich Engel, offrent une solution complète et rigoureuse à ce problème soulevé et traité de manière incomplète par Helmholtz. L'introduction historique, philosophique et mathématique ainsi que la traduction française qui sont proposées aspirent à faire connaître un aspect de l'{\oe}uvre monumentale de Sophus Lie qui demeure essentiellement peu évoqué au sein de la philosophie traditionnelle de la géométrie. (III) Le mémoire de doctorat s'achève par une traduction anglaise annotée du premier volume de la Theorie der Transformationsgruppen.

The mathematical technique permanently incorporates questionings which open up transversal metaphysics : metaphysics of notation ; metaphysics of symbolic swelling ; metaphysics of the irreversibly and necessary synthetical character of Calculation. At a trans-historical level, the ubiquituous exigence of generalization demonstrates another aspect for the irreversibility of mathematical questioning, because what is technical expresses and studies questionnings in their ramified-demultiplied complexity. In addition, auto-compulsory character of Calculation, internal necessity of combinatorics, transformational governing of symbols, and genesis of the Multiple by the One incite to foresee an a posteriori genesis of the Concept inside and by means of the Calculation; Lastly, the universality of the Open in mathematics shows that knowledges remain potential and that tentative totalisations always hide non-structural knowledges that lie in deeper synthetical levels. (II) is it possible to characterize the Euclidian space which shows up so immediately to the physical institution by means of mathematical axioms that are simple and natural ? More generally, is it possible to characterize the constant curvature spaces of Bolyai-Lobatchevskii, and as well the constant curvure Riemann spaces, excluding any other geometry which contradicts direct intuition ? The works of Sophus Lie, and notably the Theorie der Transformationsgruppen (2100 pages, 1884--93), written in collaboration with Friedrich Engel, offer a complete and rigorous solution to this problem, raised and treated incompletely by Helmholtz. The historical, philosophical and mathematical introduction, ans as well the French translation that are here proposed aim at exhibiting an aspect of the monumental work of Sophus Lie that remains essentially rarely mentioned within traditional philosophy of geometry. (III) The doctoral memoir ends up with an annotated English translation of the first volume of the Theorie der Transformationsgruppen.