Étude semi-locale des variétés normalement hyperboliques et applications à la diffusion

• Auteur / Autrice : Lara El Sabbagh
• Direction : Jean-Pierre Marco
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie hyperbolique

Variétés à 3 dimensions

Variétés (mathématiques)

Systèmes hamiltoniens

Systèmes dynamiques

Résumé

Un λ-lemme pour une variété normalement hyperbolique dit que, étant donnés une variété lisse M, un difféomorphisme f de M et une sous-variété N de M normalement hyperbolique pour f, si Γ est une sous-variété qui coupe transversalement la variété stable de N, alors les images de Γ par les itérées de f approchent le feuilletage instable de N dans une topologie convenable. Dans le cas symplectique, et quand N est compacte et ayant ses fibrés stables et instables triviaux et de même dimension, on prouve deux λ-lemmes. Le premier s’applique quand la dimension de Γ est égale à celle des feuilles instables, et le deuxième quand elle varie entre celle des feuilles instables et celle de la variété instable. De plus, on utilise ces λ-lemmes pour prouver des résultats de diffusion: on prouve l’existence d’orbites dérivant le long d’une chaîne de tores invariants minimaux dans une variété normalement hyperbolique. Comme cas particulier, on retrouve l’exemple d’Arnold. On démontre aussi la transitivité des connexions hétéroclines transverses pour les systèmes satisfaisant la propriété de torsion forte et d’autres hypothèses. Puis, sous ces conditions, on construit des fenêtres correctement alignées le long d’une chaîne de transition dans une variété normalement hyperbolique et on déduit l’existence d’orbites de diffusion. De plus, on montre que le temps de diffusion dépend de trois phénomènes: l’ergodisation, la torsion et le redressement. Enfin, on construit une classe de systèmes presque intégrables qui admettent des orbites à énergie fixée dont la projection sur le niveau d’énergie passe arbitrairement près de tout point du niveau d’énergie projeté quand la perturbation tend vers 0.

A λ-lemma for normally hyperbolic manifolds asserts that, given a smooth manifold M and a diffeomorphism f of M and a normally hyperbolic submanifold N of M, if Γ is a submanifold that transversely intersects the stable manifold of N, then, under iteration by f, Γ approaches the foliation of the unstable manifold of N in a suitable topology. When M and f are symplectic, and when N is compact and has trivial stable and unstable bundles of the same dimension d, we prove two λ-lemmas. The first one is the case when dim Γ=d, and for the second one dim Γ can take any value between d and d+dim N. Moreover, we deduce diffusion results: we prove the existence of drifting orbits along a transition chain of invariant minimal sets in a normally hyperbolic manifold. As a particular case, we recover Arnold’s example. In addition, we prove the transitivity of transversal heteroclinic connections for systems having the strong torsion property and some additional assumptions. Under the same assumptions, we derive an explicit construction of correctly aligned windows for proving the existence of shadowing orbits along a chain in a normally hyperbolic manifold. Moreover, we prove that the diffusion time splits into three characteristic parameters: the ergodization time, the straightening time, and the torsion time. Finally, we construct a class of nearly integrable systems on A3 for which we prove the existence of orbits at fixed energy whose projection on the energy level passes within an arbitrarily small distance from each point of the projected energy level, when the size of the perturbation tends to 0.