Prédiction statistique efficace et asymptotiquement efficace

• Auteur / Autrice : Emmanuel Onzon
• Direction : Denis Bosq
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Efficacité asymptotique (statistique)

Équations différentielles stochastiques

Inégalités (mathématiques)

Résumé

L'objet de cette thèse est, d'une part, de compléter les travaux qui ont porté sur la généralisation de l'inégalité de Cramér-Rao pour les prédicteurs, d'autre part, de généraliser la notion d'efficacité asymptotique à la prédiction statistique. Le Chapitre 1 rassemble des rappels sur les résultats de la théorie de l'estimation ponctuelle qui sont essentiels dans les chapitres suivants. L'inégalité de Cramér-Rao pour les prédicteurs fait l'objet du Chapitre 2. Le Chapitre 3 traite de l'efficacité asymptotique des estimateurs de la fonction de régression pour un risque particulier ainsi que de l'efficacité asymptotique pour la prédiction sous la condition que le risque de prédiction est asymptotiquement équivalent au risque d'estimation de la fonction de régression. Dans le Chapitre 4 nous donnons des conditions sous lesquelles l'équivalence asymptotique des risques utilisée au chapitre précédent est vérifiée. Dans le Chapitre 5 nous montrons un résultat de convergence en loi et l'utilisons pour donner une définition alternative de l'efficacité asymptotique pour les prédicteurs. Le Chapitre 6 présente des résultats de simulations d'un problème de prévision du processus de Ornstein-Uhlenbeck.

The subject of this thesis is, on one hand, to complete previous works about the generalization of Cramér-Rao inequality to predictors, and on the other hand, to generalize the concept of asymptotic efficiency to statistical prediction. Chapter 1 reminds results of point estimation theory which are essential in the following chapters. The Cramér-Rao inequality for predictors is the subject of Chapter 2. Chapter 3 deals with asymptotic efficiency of estimators of the regression function for a peculiar risk as well as asymptotic efficiency for prediction under the condition that the prediction risk is asymptotically equivalent to the estimation risk of the regression function. In Chapter 4 we give conditions under which the asymptotic equivalence of risks used in the previous chapter is satisfied. In Chapter 5 we prove a result of convergence in distribution and use it to give an alternative definition of asymptotic efficiency for predictors. Chapter 6 presents results of simulations of a problem of forecasting of the Ornstein-Uhlenbeck process.