Approximation diophantienne sur les variétés abéliennes

Diophantine approximation on abelian varieties

• Auteur / Autrice : Manuel Pégourié-Gonnard
• Direction : Patrice Philippon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation, Théorie de l'

Siegel, Domaines de

Approximation diophantienne

Résumé

Le but de la thèse est d'établir une version quantitative du théorème suivant : toute sous-variété d'une variété abélienne n'admet qu'un nombre finid'approximations d'exposant strictement positif. Cet énoncé a été obtenu par Faltings en 1991 ; la majeure partie des outils qu'il utilise sont communs avecsa preuve de l'ex-conjecture de Mordell-Lang. Il implique en particulier une extension du théorème de Siegel conjecturée par Lang : toute variété abélienne n'a qu'un nombre fini de points entiers. On utilise la méthode de Vojta en suivant les travaux de Rémond (versionquantitative de Mordell-Lang) : le coeur de la thèse consiste à établir uneinégalité à la Vojta explicite ; on établit ensuite une inégalité à la Mumford avant d'en déduire un décompte des approximations exceptionnelles. Toutefois, le cas où la variété approchée contient des translatés desous-variétés abéliennes non nulles nécessite d'imposer une conditionsupplémentaire pour parvenir à un décompte explicite : sans ces conditions, untel décompte impliquerait dans certains cas un résultat effectif, qui semble hors de portée à l'heure actuelle.

This thesis aims at providing a quantitative version of the following theorem : there are only finitely many approximations with positive exponentof any subvariety of an abelian variety. This theorem was proved by Faltingsin 1991 using mostly the same tools as his proof of the Mordell-Langconjecture. A corollary is the following extension of Siegel's theorem,conjectured by Lang: any abelian variety has only finitely many integralpoints. We proceed with Vojta's method, following Rémond's work on a quantitativeversion of Mordell-Lang: the technical heart of the thesis is the proof of anexplicit version of a suitable variant of Vojta's inequality ; we thenestablish an inequality à la Mumford and an explicit bound for the number of exceptional approximations follows. However, we need an additional hypothesis to get an explicit bound when thevariety considered contains translates of a positive-dimensional abeliansubvariety. Indeed, in some cases, an explicit bound for the number of pointswould give an explicit bound for their height, which seems to be out of reach at the present time.