Un théorème limite conditionnel : applications à l'inférence conditionnelle et aux méthodes d'Importance Sampling

• Auteur / Autrice : Virgile Caron
• Direction : Michel Broniatowski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Statistique
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Échantillonnage (statistique)

Fonctions exponentielles

Marches aléatoires (mathématiques)

Gibbs, Mesures de

Résumé

Cette thèse présente une approximation fine de la densité de longues sous-suites d'une marche aléatoire conditionnée par la valeur de son extrémité, ou par une moyenne d'une fonction de ses incréments, lorsque sa tailletend vers l'infini. Dans le domaine d'un conditionnement de type grande déviation, ce résultat généralise le principe conditionnel de Gibbs au sens où il décrit les sous suites de la marche aléatoire, et non son comportement marginal. Une approximation est aussi obtenue lorsque l'événement conditionnant énonce que la valeur terminale de la marche aléatoire appartient à un ensemble mince, ou gros, d'intérieur non vide. Les approximations proposées ont lieu soit en probabilité sous la loi conditionnelle, soit en distance de la variation totale. Deux applications sont développées; la première porte sur l'estimation de probabilités de certains événements rares par une nouvelle technique d'échantillonnaged'importance; ce cas correspond à un conditionnement de type grande déviation. Une seconde application explore des méthodes constructives d'amélioration d'estimateurs dans l'esprit du théorème de Rao-Blackwell, et d'inférence conditionnelle sous paramètre de nuisance; l'événement conditionnant est alors dans la gamme du théorème de la limite centrale. On traite en détail du choix effectif de la longueur maximale de la sous suite pour laquelle une erreur relative maximale fixée est atteinte par l'approximation; des algorithmes explicites permettent la mise en oeuvre effective de cette approximation et de ses conséquences.

This thesis presents a sharp approximation of the density of long runs of a random walk conditioned on its end value or by an average of a functions of its summands as their number tends to infinity. In the large deviation range of the conditioning event it extends the Gibbs conditional principle in the sense that it provides a description of the distribution of the random walk on long subsequences. An extension for the approximation of the conditional density in the multivariate case is provided. Approximation of the density of the runs is also obtained when the conditioning event states that the end value of the random walk belongs to a thin or a thick set with non void interior. The approximations hold either in probability under the conditional distribution of the random walk, or in total variation norm between measures. Application of the approximation scheme to the evaluation of rare event probabilities through Importance Sampling is provided. When the conditioning event is in the zone of the central limit theorem it provides a tool for statistical inference in the sense that it produces an effective way to implement the Rao-Blackwell theorem for the improvement of estimators; it also leads to conditional inference procedures in models with nuisance parameters. An algorithm for the simulation of such long runs is presented, together withan algorithm determining the maximal length for which the approximation isvalid up to a prescribed accuracy.