Génération aléatoire de structures ordonnées par le modèle de Boltzmann

• Auteur / Autrice : Olivier Roussel
• Direction : Michèle Soria
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Algorithmes

Complexité de calcul (informatique)

Théorie du transport

Résumé

Dans le domaine de la combinatoire, la génération aléatoire d’objets est un problème central relié à de nombreux aspects de la science combinatoire, que ce soit à l’énumération exacte ou asymptotique, ou à la vérification de conjectures. De nombreuses méthodes ont été proposées afin de résoudre efficacement ce problème, dont le modèle de Boltzmann. Ce modèle, au prix d’un contrôle moindre sur la taille des objets générés, assure les propriétés de complexité linéaire dans beaucoup de cas réels, et de facilité d’automatisation pour de larges classes d’objets. Cette thèse vise à étendre encore les classes d’objets combinatoires sur lesquelles ce modèle de Boltzmann peut s’appliquer, tout en conservant les propriétés d’efficacité et d’automatisation. La première partie est une étude des algorithmes de générations de Boltzmann existants, ainsi que de leur propriétés et leurs fondations mathématiques sous-jacentes. Dans une seconde partie, nous présentons notre idée de biaiser ces algorithmes pour étendre leur domaine de validité. Nous proposons une extension très générale, avant de l’appliquer à plusieurs opérateurs combinatoires tels que la dérivation, le produit de shuffle et l’opération de dépointage. Enfin, nous présentons un algorithme de génération uniforme pour le produit de Hadamard. Nous appuyons nos algorithmes et résultats par des exemples et données expérimentales illustrant le bien fondé de nos méthodes.

Uniform random generation is a central issue in combinatorics. Indeed, random sampling is virtually connected to all parts of combinatorics, whether to exact or asymptotic enumeration, or to the experimental verification of conjectures. Various methods have been developed in order to efficiently solve that issue. Boltzmann model is among them. This method, relaxing some constraints about the size of the object being currently generated, ensures a linear complexity in many actual cases, and can easily be automatized for various combinatorial classes. This thesis aims at enlarging the set of such admissible classes, while keeping the nice properties of linear complexity and ease of automation. The first part is devoted to the presentation of the Boltzmann model and existing Boltzmann samplers, and the study of their properties and mathematical foundations. In the second part, we introduce our idea of biasing those samplers in order to enlarge their range of validity. Firstly, we present a general extension, and then specialize it to several combinatorial operations such as the derivation, the shuffle product or the unpointing operation. Finally, we present a uniform random sampler for the Hadamard product. We highlight our algorithms through this thesis with examples and experimental results, illustrating the efficiency of our methods.