Compléxité des flots géodésiques intégrables sur le tore

• Auteur / Autrice : Clémence Labrousse
• Direction : Jean-Pierre Marco, Elisha Falbel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie

Flots géodésiques

Systèmes hamiltoniens

Géométrie de Riemann

Résumé

Nous cherchons les métriques sur le tore qui minimisent la ''complexité''. L'entropie topologique pouvant s'annuler, nous cherchons les minimums de l'entropie polynomiale parmi des systèmes géodésiques à entropie nulle : les métriques plates, et les métriques pour lesquelles le flot géodésique admet une intégrale première non dégénérée au sens de Bott. Dans un premier temps, nous calculons l'entropie polynomiale des systèmes hamiltonien intégrable au sens de Bott avec une condition de cohérence dynamique supplémentaire. Un tel système vit sur un niveau d'énergie compact de dimension 3 d'une variété symplectique de dimension 4. Nous montrons que l'entropie polynomiale ne peut prendre que les valeurs 0,1 ou 2. Ensuite, nous montrons que l'entropie polynomiale d'un système géodésique sur une variété riemannienne compacte M est minorée par le degré de croissance polynomiale du groupe fondamental de M moins 1. De là , nous déduisons que les métriques plates sur les tores minimisent l'entropie polynomiale. Enfin, nous montrons que, parmi les systèmes géodésiques sur le tore de dimension 2 qui sont Bott-intégrables et dynamiquement cohérents, les métriques plates sont des minimums stricts locaux de l'entropie polynomiale