Équations aux dérivées partielles stochastiques avec un potentiel singulier

par Said Karim Bounebache

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Lorenzo Zambotti.

Soutenue en 2012

à Paris 6 .


  • Résumé

    This thesis deals with some topics linked with interface model, ours aim is to find solution of some SPDE of parabolic type with singular potential. Firstly We study the motion of a random string in a convex domain O in R^d, namely the solution of a vector-valued stochastic heat equation, confined in the closure of O and reflected at the boundary of O. We study the structure of the reflection measure by computing its Revuz measure in terms of an infinite dimensional integration by parts formula. We prove extistence and uniqueness of a continuous strong solution. Our method exploits recent results on weak convergence of Markov processes with log-concave invariantmeasures. Secondly We consider a stochastic heat equation driven by a space-time white noise and with a singular drift, where a local-time in space appears. The process we study has an explicit invariant measure of Gibbs type, with a non-convex potential. We obtain existence of a Markov solution, which is associated with an explicit Dirichlet form. Moreover we study approximations of the stationary solution by means of a regularization of the singular drift or by a finite-dimensional projection. Finaly, we extend the previous methods for a SPDE in which the two types of singularity appear.


  • Résumé

    Nous nous intéressons dans cette thèse a l’étude de trois dynamiques en dimension infinie, liées à des problèmes d'interface aléatoire. Il s'agira de résoudre uneéquation aux dérivées partielles stochastiques paraboliques avec différents potentiels singuliers. Trois types de potentiel sont étudiés, dans un premier temps nousconsidérons l'équation de la chaleur stochastique avec un potentiel convexe sur R^d, correspondant à l'évolution d'une corde aléatoire dans un ensemble convexeO inclus dans R^d et se réfléchissant sur le bord de O. La mesure de réflexion , vue comme la fonctionnelle additive d'un processus de Hunt, est étudiée au travers de sa mesure de Revuz. L'unicité trajectorielle et l'existence d'une solution forte continue sont prouvées. Pour cela nous utilisons des résultats récents sur la convergence #étroite de processus de Markov avec une mesure invariante log-concave. Nous étudions ensuite l'équation de la chaleur avec un bruit blanc espace-temps,avec un potentiel singulier faisant apparaître un temps local en espace. Cette fois le processus de Markov étudié possède une mesure invariante de type mesure de Gibbs mais avec un potentiel non convexe. L'existence d'une solution faible est prouvée,ainsi que la convergence, vers une solution stationnaire ,d'une suite d'approximation, construite par projections sur des espaces de dimension infinie. Une étude du semi-groupe permet d'obtenir des solutions non-stationnaires. Nous combinons enfin les deux précédents modèles. L'existence d'une solutionstationnaire est prouvée ainsi que la convergence d'un schéma d'approximation comme précédemment.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (137 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 133-137. 91 réf. bibliogr.

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Sorbonne Université. Bibliothèque de Sorbonne Université. Bibliothèque Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Consultable sur place dans l'établissement demandeur
  • Cote : T Paris 6 2012 149

Cette version existe également sous forme de microfiche :

  • Bibliothèque : Université de Lille. Service commun de la documentation. Bibliothèque universitaire de Sciences Humaines et Sociales.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : 2012PA066149
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.