Contrôlabilité uniforme des équations aux dérivées partielles disécrétisées

Uniform controllability of discrete partial differential equations

• Auteur / Autrice : Thi Nhu Thuy Nguyen
• Direction : Emmanuel Trélat, Jérôme Le Rousseau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/10/2012
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies (Orléans ; 2009-2012)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire mathématiques - analyse, probabilités, modélisation (Orléans ; 2012-2017)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Labbé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Trélat, Jérôme Le Rousseau, Stéphane Labbé, Franck Boyer, Thomas Haberkorn
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Franck Boyer, Manuel Gonzalez-Burgos

Mots clés

Mots clés contrôlés

Carleman, Méthode de

Équations différentielles paraboliques

Mots clés libres

Contrôlabilité

Inégalité d'observabilité

Discrétisation

Inégalité de Carleman

Controllability

Observability inequality

Discretization

Carleman estimate

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de contrôlabilité uniforme des semidiscrets approximations de systèmes paraboliques. Dans une première partie, nous nous intéressons à la minimisation de Lq-norme (q > 2) des contrôles semidiscrete pour l'équation parabolique. Notre objectif est de dépasser la limitation de [LT06] à propos de l'ordre ½ de l'absence de limites d'opérateur de contrôle. Plus précisément, nous montrons que la propriété d'observabilité uniforme est également titulaire dans Lq (q > 2), même dans le cas d'un degré d'absence de limites supérieure à 1/2. En outre, une procédure de minimisation pour calculer les commandes d'approximation est fournie. L'étude de l'optimalité Lq dans lapremière partie est dans un contexte général. Cependant, les inégalités d'observabilité discrets qui sont obtenus ne sont pas aussi précises que celles dérivées puis avec des estimations de Carleman. Dans une seconde partie, dans le contexte particulier de unidimensionnels-finis différences nous démontrons une inégalité de Carleman pour une version semi-discret de l'opérateur parabole @t − @x(c@x) qui permet pour dériver les inégalités d'observabilité qui sont beaucoup plus précis. On considère ici que dans le cas où le coefficient de diffusion a un saut qui donne une formulation du problème de transmission. Conséquence de cette inégalité de Carleman, on en déduit cohérentes nul contrôlabilité des résultats pour les classes de linéaires et semi-linéaire des équations paraboliques.

In this thesis, we study uniform controllability properties of semi-discrete approximations for parabolic systems. In a first part, we address the minimization of the Lq-norm (q > 2) of semidiscrete controls for parabolic equation. Our goal is to overcome the limitation of [LT06] about the order 1/2 of unboundedness of the control operator. Namely, we show that the uniform observability property also holds in Lq (q > 2) even in the case of a degree of unboundedness greater than 1/2. Moreover, a minimization procedure to compute the approximation controls is provided. The study of Lq optimality in the first part is in a general context. However, the discrete observability inequalities that are obtained are not so precise than the ones derived then with Carleman estimates. In a second part, in the discrete setting of one-dimensional finite-differences we prove a Carleman estimate for a semi discrete version of the parabolic operator @t − @x(c@x) which allows one to derive observability inequalities that are far more precise. Here we consider in case that the diffusion coefficient has a jump which yields a transmission problem formulation. Consequence of this Carleman estimate, we deduce consistent null-controllability results for classes of linear and semi-linear parabolic equations.