Vers un modèle particulaire de l'équation de Kuramoto-Sivashinsky

Particle models in connection with Kuramoto-Sivashinsky equation

• Auteur / Autrice : Thanh Tam Phung
• Direction : François James, Pascal Brault
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/07/2012
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies (Orléans ; 2009-2012)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire mathématiques - analyse, probabilités, modélisation (Orléans ; 2012-2017)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans
• Jury : Président / Présidente : Michel Zinsmeister
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François James, Pascal Brault, Michel Zinsmeister, Frédéric Lagoutière, Christophe Josserand, Laurent Boudin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Agglomération

Particules (matière)

Mots clés libres

Modèle particulaire

Kuramoto-Sivashinsky

Gaz sans pression

Particle model

Kuramoto-Sivashinsky

Pressureless gas

Résumé

Dans cette thèse, on étudie des systèmes de particules en interaction dont le comportement est lié à certaines équations aux dérivées partielles lorsque le nombre de particules tend vers l’infini. L’équation de Kuramoto-Sivashinsky modélise par exemple la propagation de certains fronts de flamme, la topographie de la surface d’une couche mince en cours de croissance, et fait apparaître des structures macroscopiques. Un modèle de particules en interaction par un couplage harmonique des vitesses, attractif aux premières vitesses voisines, répulsive aux secondes voisines, associée à des collisions élastiques, produit des profils de vitesses analogues aux fronts de flamme. On observe également la création et l’annihilation d’agrégats de particules. Un autre modèle, où les particules fusionnent lors des collisions en préservant masse et quantité de mouvement, et avec uniquement attraction au plus proche voisin, permet de retrouver un modèle de type gaz sans pression avec viscosité. Ces modèles sont étudiés théoriquement, en particulier les facteurs de mise à l’échelle des forces d’interaction sont précisés pour obtenir les équations correctes dans la limite du grand nombre de particules. Des simulations numériques confirment la validité et la pertinence des modèles.

This work is concerned by systems of interacting particles, which are linked to partial derivative equations when the particle number becomes large enough. The Kuramoto-Sivashinsky equation is actually modeling as well the front flame propagation as the morphology of growing interfaces, in deposition, for example. Moreover, surface periodical macroscopic structuring is occurring. An interacting particle model through an harmonic velocity coupling, attractive with the first velocity-neighbor and repulsive for the second neighbors, associated with elestic collisions. This model thus provides us with velocity profiles close to those of front flame propagation. Creation and annihilation of particle clusters is also observed. Another model, where particle are merging during collisions, while retaining mass and momentum conservation and with only nearest neighbor attraction, allows to recover a viscous pressureless gas model. These models are studied using mathematical tools. Especially interaction scaling factors are determined for obtaining the suitable equations in the large particle number limit. The numerical simulations confirm the relevance of the models.