Optimal transportation in control theory

• Auteur / Autrice : Mohamad-Ahed Hindawi
• Direction : Ludovic Rifford, Jean-Baptiste Pomet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Transport optimal de mesure

Résumé

Nous étudions le problème de transport optimal, en particulier l’existence, l’unicité et la régularité de l’application de transport, pour des coûts associés à un système de contrôle. Dans une première étape, nous supposons que le cout intervenant dans le problème de transport est associé à un problème de contrôle optimal de type LQ. On obtient dans ce cadre un résultat d’existence, d’unicité et de régularité pour l’application de transport. Les propriétés de régularité proviennent d’une réinterprétation de notre problème de transport optimal comme un problème de transport impliquant le coût quadratique usuel à la Brenier entre deux mesures de probabilité bien construites. Ensuite, nous associons le coût de notre problème de transport à un système de contrôle sur un groupe de Lie. On obtient l’existence, l’unicité et la régularité de l’application de transport. En particulier on traite le cas où le système est bilinéaire. La dernière étape de ce travail concerne le cas où le système de contrôle est de type affine et commandable. Dans ce cas et sous certaines hypothèses, comme l’absence des minimiseurs singuliers, on obtient le même type de résultats que précédemment.

We study the mass transportation problem where the assumed cost function is associated to a control system. We are interested in the existence, uniqueness and the regularity of an optimal transport map. At first, we associate to the cost function of the transport problem an optimal control problem of type LQ. There we prove results about existence, uniqueness and regularity of the transport map. The regularity property that we had obtained uses the regularity property in Brenier case after certain construction. Then we associate to the cost function of the assumed transport problem a control system defined on a Lie group. Here we obtain the existence, uniqueness and the regularity of the transport map. In particular we treat the case where the system is bilinear. Finally we study the aforementioned problem but this time we associate to the cost function an affine-control system. Under certain hypothesis, controllability and the absence of singular minimizing controls, we obtain analogues result as in the previous case.