Amélioration des performances de méthodes Galerkin discontinues d'ordre élevé pour la résolution numérique des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes

Performances improvement of high-order discontinuous Galerkin methods for the numerical solution of unsteady Maxwell's equations on simplicial meshes

• Auteur / Autrice : Joseph Charles
• Direction : Stéphane Lanteri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul intensif (informatique)

Grilles (analyse numérique)

Interpolation (mathématiques)

Galerkine, Méthodes de

Maxwell, Équations de

Électromagnétisme

Résumé

Cette étude concerne le développement d’une méthode Galerkin discontinue d’ordre élevé en domaine temporel (DGTD), flexible et efficace, pour la résolution des équations de Maxwell instationnaires sur des maillages simplexes déstructurés et reposant sur des schémas d’intégration en temps explicites. Les composantes du champ électromagnétique sont approximées localement par des méthodes d’interpolation polynomiale et la continuité entre éléments adjacents est renforcée de façon faible par un schéma centré pour le calcul du flux numérique à travers les interfaces du maillage. L’objectif de cette thèse est de remplir deux objectifs complémentaires. D’une part, améliorer la flexibilité de l’approximation polynomiale en vue du développement de méthodes DGTD p-adaptatives par l’étude de différentes méthodes d’interpolation associées, leur éventuelle structure hiérarchique, le conditionnement des matrices élémentaires à inverser, les propriétés spectrales de l’interpolation ou la simplicité de programmation sont étudiés. D’autre part, augmenter l’efficacité de l’approximation temporelle sur des maillages localement raffinés en utilisant une stratégie de pas de temps local. Nous développerons finalement dans cette étude une méthodologie de calcul haute performance pour exploiter la localité et le parallélisme inhérents aux méthodes DGTD combinés aux capacités de calcul sur carte graphique. La combinaison de ces caractéristiques modernes résulte en une amélioration importante de l’efficacité et en une réduction significative du temps de calcul.

This work is concerned with the development of a flexible and efficient arbitrary high-order Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) method for solving time-domain Maxwell’s equations on unstructured simplicial meshes, relying on explicit time integration schemes. Electromagnetic field components are approximated locally by polynomial interpolation methods and continuity between neighbouring, elements is weakly enforced by a centred scheme for the calculation of the numerical flux across mesh interfaces. The aim of this PhD thesis is to fulfil two complementary objectives. On one hand, to improve the polynomial approximation flexibility in view of the development of p-adaptive DGTD methods by studying various polynomial interpolation methods. Several aspects such as the modal or nodal nature of the associated set of basis functions, their possible hierarchical structure, the conditioning of the elementary matrices to be inverted, the spectral properties of the interpolation or the programming simplicity are investigated. On the other hand, to increase the efficiency of the temporal approximation on locally refined meshes by using a local time stepping strategy. We finally develop in this work a high performance computing methodology to exploit the inherent locality and parallelism of DGTD methods combined with the GPU computing capabilities. The combination of these brand features result in worth improvement of efficiency and in significant reduction of the computational time.