Initialité pour la syntaxe typée sémantique

Initiality for typed syntax and semantics

• Auteur / Autrice : Benedikt Ahrens
• Direction : André Hirschowitz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Syntaxe

Sémantique

Linguistique mathématique

Langage et logique

Résumé

Dans cette thèse, on donne une caractérisation algébrique de la syntaxe et de la sémantique des langages simplement typés. Plus précisément, on caractérise la syntaxe simplement typée avec liaison de variables, équipée des règles de réduction, via une propriété universelle, à savoir comme l’objet initial d’une catégorie. Nous spécifions un langage par une 2–signature (∑, A), c’est–à–dire, une signature à deux niveaux: le niveau syntaxique ∑ spécifie les types et les termes du langage, et associe un type à chaque terme. Le niveau sémantique A spécifie, via des inéquations, des règles de réduction sur les termes du langage. À chaque 2–signature (∑, A) donnée on associe une catégorie des «modèles» de (∑, A). Nous démontrons que cette catégorie admet un objet initial, qui intègre les termes librement engendrés par ∑ et la relation de réduction — sur ces termes — engendrée par A. Nous appelons cet objet le langage engendré par (∑, A). Initialité fournit un principe d’itération qui permet de spécifier des traductions sur la syntaxe, possiblement vers un langage sur des types différents, de façon très économique. De plus, les traductions qui sont spécifiées via ce principe d’itération sont fidèles relativement au typage et la réduction. Dans une deuxième partie, nous formalisons quelques uns de nos théorèmes d’initialité dans l’assistant de preuves Coq. L’implémentation apporte un mécanisme qui, étant donnée une 2–signature, rend une implémentation de sa syntaxe associée, équipée d’une opération de substitution certifiée, d’un opérateur d’itération et d’une relation de réduction engendrée par les règles de réductions spécifiées.

In this thesis we give an algebraic characterization of the syntax and semantics of simply–typed languages. More precisely, we characterize simply–typed binding syntax equipped with reduction rules via a universal property, namely as the initial object of some category. We specify a language by a 2–signature (∑, A), that is, a signature on two levels: the syntactic level ∑ specifies the sorts and terms of the language, and associates a sort to each term. The semantic level A specifies, through inequations, reduction rules on the terms of the language. To any given 2–signature (∑, A) we associate a category of “models” of (∑, A). We prove that this category has an initial object, which integrates the terms freely generated by ∑ and the programming language generated by (∑, A). The initiality provides an iteration principle which allows to specify translations on the syntax, possibly to a language over different sorts, in a very economic way. Furthermore, translations specified via the iteration principle are by construction type–safe and faithful with respect to reduction. In a second part, we formalize some of our initiality theorems in the proof assistant Coq. The implementation yields a machinery which, when given a 2–signature, returns an implementation of its associated abstract syntax together with certified substitution operation, iteration operator and a reduction relation generated by the specified reduction rules.