Contrôle en temps optimal et nage à bas nombre de Reynolds

Time optimal control and lox Reynolds number swimming

• Auteur / Autrice : Jérôme Lohéac
• Direction : Marius Tucsnak, Jean-François Scheid
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/12/2012
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan (1953-1996 ; Nancy, Vandoeuvre-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Maître
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Glass, Alexandre Munnier, Jean-Pierre Raymond
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Trélat, Antonio Desimone

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Schrödinger, Équation de

Interaction fluide-structure

Reynolds, Nombre de

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Contôle en temps optimal

Principe de Pontryagin

Équation de Schrödinger

Nage à bas de nombre de Reynolds

Résumé

Cette thèse est divisée en deux parties, le fil directeur étant la contrôlabilité en temps optimal.Dans la première partie, après un rappel du principe du maximum de Pontryagin dans le cas des systèmes de dimension finie, nous mettrons en oeuvre ce principe sur le cas d'un intégrateur non-holonome connu sous le nom de système de Brockett pour lequel nous imposons des contraintes sur l'état. La difficulté de cette étude provient du fait que l'on considère un problème de contrôle avec des contraintes sur l'état. Après cet exemple, nous nous intéressons à une extension du principe du maximum de Pontryagin au cas des systèmes de dimension infinie. Plus précisément, l'extension que nous considérons s'applique au cas de systèmes exactement contrôlables en tout temps. Typiquement, ce résultat s'applique à l'équation de Schrödinger avec contrôle interne. Pour de tels systèmes, sous une condition de contrôlabilité approchée, depuis un ensemble de temps non négligeable, nous montrons l'existence d'un contrôle bang-bang. Dans la seconde partie, nous étudions le problème de la nage à bas nombre de Reynolds. Une modélisation physique convenable nous permet de le formaliser comme un problème de contrôle. Nous obtenons alors un résultat de contrôlabilité sur ce problème. Plus précisément, nous montrons que quelque soit la forme du nageur, celui-ci peut se déformer légèrement pour suivre une trajectoire imposée. Nous étudions ensuite le cas d'un nageur à symétrie axiale. Les résultats de la première partie permettent alors la recherche d'un contrôle en temps optimal

This thesis is divided in two parts. The main tool of this work is time optimal control. We first consider the Pontryagin maximum principle for control system of finite dimension. After that, we give an application of this principle for the Brockett integrator with state constraints. Then, we study an extension of the Pontryagin maximum principle in the case of infinite dimensional systems. More precisely, this extension concerns the case of exactly controllable systems in any time. For instance, this can be the Schrödinger equation with internal control. Especially under some condition of approximate controllability, we can show the existence of a bang-bang control defined on a time set of positive measure. In the second part, we study the problem of swimming at low Reynolds number. A convenient physical model allows us to formulate it under the form of a control problem. We then get a controllability result on this problem. More precisely, we will show that whatever the shape of the swimmer is, the swimmer can slightly modify its shape in order to steer any prescribed trajectory. To complete this part, we consider the case of an axi-symmetric swimmer. The results of the first part allow us to find an optimal time control