Etude mathématique de la sensibilité POD (Proper orthogonal decomposition)

Mathematical study of the sensitivity of the POD method (Proper orthogonal decomposition)

• Auteur / Autrice : Nissrine Akkari
• Direction : Aziz Hamdouni, Mustapha Jazar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique
• Date : Soutenance le 20/12/2012
• Etablissement(s) : La Rochelle en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences et infénierie en matériaux mécanique énergétique et aéronautique
• Jury : Président / Présidente : Alain Cimetiere
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abdallah El Hamidi, Franck Plouraboué
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antonio Falco, Anthony Nouy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sensibilité, Théorie de la (mathématiques)

Décomposition orthogonale aux valeurs propres

Calcul d'erreur

Mots clés libres

Méthodes ROM

POD

Evolution paramétrique

Sensibilité

Estimation d'erreurs

ROM methods

POD

Parametric evolution

Sensitivity

Errors estimation

Résumé

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l’étude mathématique de la sensibilité paramétrique de la méthode de réduction de modèles par projection connue sous le nom de POD pour Proper Orthogonal Decomposition. Dans beaucoup d’applications de la mécanique des fluides,la base de projection (base POD) calculée à un paramètre caractéristique fixe du problème de Navier-Stokes, est utilisée à la suite pour construire des modèles d’ordre réduit ROM-POD pour d’autres valeurs du paramètre caractéristique. Alors, la prédiction du comportement de ce ROM-POD vis-à-vis du problème initial est devenue cruciale. Pour cela, nous avons discuté cette problématique d’un point de vue mathématique. Nous avons établi des résultats mathématiques de sensibilité paramétrique des erreurs induites par application de la méthode ROM-POD. Plus précisément, notre approche est basée sur l’établissement d’estimations a priori de ces erreurs paramétriques, en utilisant les méthodes énergétiques classiques. Nos résultats sont démontrés pour les deux problèmes de type Burgers et Navier-Stokes. Des validations numériques de ces résultats mathématiques ont été faites uniquement pour le problème de type Burgers.

In this thesis, we are interested in the mathematical study of the parametric sensitivity of the reduced order model method known as the POD method (proper orthogonal decomposition). In several works applied to fluid mechanics, the POD modes are computed once and for all in association with a fixed parameter that characterize the equations of the fluid mechanics : Navier-Stokes system. Then, these modes are used in order to compute reduced order models (ROM) associated to these equations, for different parameter values. So, one needs a tool for predicting the behavior of the reduced order model with respect to the complete problem, when the parameter’s value is changing. We have discussed this problem from a mathematical point of vue. In fact, we have established mathematical results on the parametric sensitivity of the errors induced by applying the ROM-POD method. More precisely, our work is based on developing a priori estimations of these parametric errors, by using classical techniques of energy estimation.Our results are proved for the two problems of Burgers and Navier-Stokes. Numerical validations are established only in the case of the Burgers equation.