Métriques naturelles associées aux familles de variétés Kahlériennes compactes

Natural metrics associated to families of compact Kähler manifolds.

• Auteur / Autrice : Gunnar Thor Magnusson
• Direction : Jean-Pierre Demailly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/11/2012
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut Fourier
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier
• Jury : Président / Présidente : Christophe Mourougane
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frederic Campana, Philippe Eyssidieux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Biquard, Georg Schumacher

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des déformations

Géométrie kahlerienne

Métriques Weil-Petersson

Deformation theory

Kahler geometry

Weil-Petersson metrics

Résumé

Dans cette thèse nous considérons des familles π:X→S de variétés compactes kählerinnes au-dessus d'une base lisse S. Nous construisons un cône de Kähler relatif p:K→S au-dessus de la base de déformations. Ensuite nous démontrons l'existence des métriques hermitiennes naturelles sur les espaces totals K et X x _SK qui généralisent la métrique de Weil--Petersson classiuque associée aux familles polarisées de telles variétés. Nous obtenons aussi une métrique riemannienne sur le cône de Kähler d'une variété compacte kählerienne quelconque. Nous exprimons son tenseur de courbure à l'aide d'un plongement du cône de Kähler dans l'espace de toutes métriques hermitiennes sur la variété. Nous démontrons aussi que si les variétés en question sont de fibré canonique trivial, alors notre métrique est la forme de courbure d'un fibré en droites holomorphe. Nous donnons ensuite quelques exemples et applications.

In this thesis we consider families π:X→S of compact Kähler manifolds with zero first Chern class over a smooth base S. We construct a relative complexified Kähler cone p:K→S over the base of deformations. Then we prove the existence of natural hermitian metrics on the total spaces K and X x _SK that generalize the classical Weil--Petersson metrics associated to polarized families of such manifolds. As a byproduct we obtain a Riemannian metric on the Kähler cone of any compact Kähler manifold. We obtain an expression of its curvature tensor via an embedding of the Kähler cone into the space of hermitian metrics on the manifold. We also prove that if the manifolds in our family have trivial canonical bundle, then our generalized Weil--Petersson metric is the curvature form of a positive holomorphic line bundle. We then give some examples and applications.