Solitons et comportement asymptotique des solutions en grand temps pour l'équation de Novikov-Veselov

Solitons and large time asymptotics of solutions for the Novikov-Veselov equation

• Auteur / Autrice : Anna Kazeykina
• Direction : Roman Novikov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Mots clés

Mots clés contrôlés

Solitons

Mots clés libres

Equation de Novikov-Veselov

Equation integrable

Comportement asymptotique

Onde progressive

Méthode de diffusion inverse

Résumé

Ce travail est consacré à l'étude de l'équation de Novikov-Veselov, un analogue ( 2 + 1 )-dimensionnel de l'équation renommée de Korteweg-de Vries, intégrable via la transformée de la diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger stationnaire en dimension 2 à énergie fixe. Nous commençons par étudier une classe spéciale de solutions rationnelles non singulières de l'équation de Novikov-Veselov à énergie positive, construites par Grinevich et Zakharov, et nous démontrons que ces solutions sont multisolitons. Les solutions de Grinevich-Zakharov sont localisées comme $$ O( | x |^{ -2 } ) $$, $$ | x | \to \infty $$, et dans le travail présent, nous prouvons que cette localisation est presque la plus forte possible pour les solitons de l'équation de Novikov-Veselov: nous montrons que l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle ne possède pas de solitons localisés plus fort que $$ O ( | x |^{ - 3 } ) $$, $$ | x | \to \infty $$. Pour le cas d'énergie zéro, nous montrons que si les solitons de l'équation de Novikov-Veselov appartiennent à l'image des solutions de l'équation de Novikov-Veselov modifiée sous la transformation de Miura, dans ce cas, la localisation plus forte que $$ O( | x |^{ -2 } ) $$ n'est pas possible. Dans le travail présent, nous étudions également la question du comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy pour l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle (pour le cas d'énergie positive, les solutions transparentes ou '' reflectionless '' sont considérées). Sous l'hypothèse de non singularité des données de diffusion des solutions nous obtenons que ces solutions décroissent avec le temps de façon uniforme comme $$ O( t^{ -1 } ) $$, $$ t \to +\infty $$, dans le cas d'énergie positive et comme $$ O( t^{ -3/4 } ) $$, $$ t \to +\infty $$, dans le cas d'énergie négative; dans ce dernier cas, nous démontrons également que l'estimation obtenue est optimale.

This work is concerned with the study of the Novikov-Veselov equation, a ( 2 + 1 )-dimensional analog of the renowned Korteweg-de Vries equation, integrable via the inverse scattering transform for the 2-dimensional stationary Schrödinger equation at a fixed energy. We start by studying a special class of rational nonsingular algebraically localized solutions of the Novikov-Veselov equation at positive energy constructed by Grinevich and Zakharov and we demonstrate that these solutions are multisolitons. Grinevich-Zakharov solutions are localized as $$ O( | x |^{ -2 } ) $$, $$ | x | \to \infty $$, and in the present work we prove that this localization is almost the strongest possible: we show that the Novikov-Veselov equation at nonzero energy does not possess solitons localized stronger than $$ O( | x |^{ - 3 } ) $$, $$ | x | \to \infty $$. For the case of zero energy we show that if the solitons of the Novikov-Veselov equation belong to the range of solutions of the modified Novikov-Veselov equation under Miura transform, then localization stronger than $$ O( | x |^{ -2 } ) $$ is not possible. In the present work we also study the question of the asymptotic behavior of solutions to the Cauchy problem for the Novikov-Veselov equation at nonzero energy (for the case of positive energy transparent or reflectionless solutions are considered). Under assumption that the scattering data for the solutions are nonsingular we obtain that these solutions decrease uniformly with time as $$ O( t^{ -1 } ) $$, $$ t \to +\infty $$, in the case of positive energy and as $$ O( t^{ -3/4 } ) $$, $$ t \to +\infty $$, in the case of negative energy ; in the latter case we also demonstrate that the obtained estimate is optimal