Trois essais sur la modélisation de la dépendance entre actifs financiers

Three essays on modeling the dependence between financial assets

• Auteur / Autrice : Damien Bosc
• Direction : Alfred Galichon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences économiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Mots clés

Mots clés libres

Dépendance extrème

Transport optimal

Copules

Couplage de processus stochastiques

Dépendances entre vecteurs aléatoires

Résumé

Cette thèse porte sur deux aspects de la dépendance entre actifs financiers. La première partie concerne la dépendance entre vecteurs aléatoires. Le premier chapitre consiste en une comparaison d'algorithmes calculant l'application de transport optimal pour le coût quadratique entre deux probabilités sur R^n, éventuellement continues. Ces algorithmes permettent de calculer des couplages ayant une propriété de dépendance extrême, dits couplage de corrélation maximale, qui apparaissent naturellement dans la définition de mesures de risque multivariées. Le second chapitre propose une définition de la dépendance extrême entre vecteurs aléatoires s'appuyant sur la notion de covariogramme ; les couplages extrêmes sont caractérisés comme des couplages de corrélation maximale à modification linéaire d'une des marginales multivariées près. Une méthode numérique permettant de calculer ces couplages est fournie, et des applications au stress-test de dépendance pour l'allocation de portefeuille et la valorisation d'options européennes sur plusieurs sous-jacents sont détaillées. La dernière partie décrit la dépendance spatiale entre deux diffusions markoviennes, couplées à l'aide d'une fonction de corrélation dépendant de l'état des deux diffusions. Une EDP de Kolmogorov forward intégrée fait le lien entre la famille de copules spatiales de la diffusion et la fonction de corrélation. On étudie ensuite le problème de la dépendance spatiale atteignable par deux mouvements Browniens, et nos résultats montrent que certaines copules classiques ne permettent pas de décrire la dépendance stationnaire entre des mouvements Browniens couplés

This thesis addresses two aspects of the dependence between financial assets. The first part is about the dependence between random vectors. The first chapter consists in a comparison of several algorithms that compute the optimal transport map for the quadratic cost between two (possibly continuous) probabilities over R^n. These algorithms compute couplings, called maximum correlation couplings, which have a property of extreme dependence that naturally appears in the definition of multivariate risk measures. The second chapter defines a notion of extreme dependence between random vectors based on the covariogram; the extreme couplings are characterized as maximum correlation couplings, up to a linear transform of one of the multivariate margins. A numerical method to compute these couplings is provided, and applications to the stress testing of multivariate dependence for portfolio allocation and the pricing of European options on several underlyings are detailed. The last part describes the spatial dependence between two Markovian diffusions, coupled with a state dependent correlation function. An integrated Kolmogorov forward PDE is established that relates the family of spatial copulas of the diffusion and the correlation function. Then the problem of attainable spatial dependence between two Brownian motions is addressed, and we show that some classical copulas are not admissible to describe the stationary dependence between Brownian motions