Inversibilité stochastique et thèmes afférents

Stochastic invertibility and related topics

• Auteur / Autrice : Rémi Lassalle
• Direction : Ali Süleyman Üstünel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 27/06/2012
• Etablissement(s) : Paris, ENST
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Shizan Fang
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hélène Airault, Mireille Chaleyat-Maurel, Rama Cont, Ivan Nourdin
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ana Bela Ferreira Cruzeiro, Nicolas Privault

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande stochastique

Processus stochastiques

Optimisation mathématique

Analyse stochastique

Mots clés libres

Probabilités

Analyse stochastique

Optimisation

Processus stochastiques

Probabilities

Stochastic analysis

Optimization

Stochastic processes

Résumé

Une partie substantielle de ce travail est dédiée à l'étude de problèmes d'optimisation précis, en liens étroits avec le transport optimal, dans le cadre d'espaces probabilisés filtrés habituels de l'analyse stochastique, dont un paradigme est fourni par l'espace de Wiener classique. Dans le cadre de modèles aléatoires, en particulier en présence de processus stochastiques, ces filtrations décrivent l' acquisition progressive d'informations. Certains contre-exemples dus à B.Tsirelson et à ses collaborateurs, qui résultent pour partie de la nature de ces filtrations, motivent d'une part un examen approfondi des conditions d'optimalité de versions fortes de ces problèmes et de leurs propriétés locales, d'autre part l'étude de versions affaiblies de ces problèmes. Sous les hypothèses données, l'énoncé de conditions d'optimalité adaptées qui sont ajustées à la spécificité de ces problèmes nous ramène à une propriété d'inversibilité stochastique qui se formule à partir de transports de mesures qui préservent la filtration, par l'intermédiaire d'isomorphismes d'espaces probabilisés filtrés spécifiques. Cette propriété, qui s'enracine pour partie dans les travaux de D.Feyel, de A.S.Üstünel, de M.Zakai et de leurs collaborateurs où elle se trouve en germe, ou encore autour de résultats employés par H. Föllmer il y a fort longtemps, et qui se déploie aussi dans des cadres davantage géométriques, ouvre naturellement à un large éventail d'applications concrètes. Aussi, on sera amené à étudier des problèmes issus du filtrage, de la physique statistique, de l'optimisation stochastique, ou encore du contrôle stochastique, du transport optimal, ainsi que de la théorie de l'information.

Part of this work is devoted to the study of precise optimization problems which are closely related to optimal transport, within the framework of particular filtered probability spaces which are usual in stochastic analysis, such as the classical Wiener space. Within random models, notably with stochastic processes, filtrations usually describe information flows. Counter-examples from B.Tsirelson and his collaborators, which deeply rely on those underlying filtrations, motivate both an accurate study of optimality conditions to strong versions of those problems together with their local properties, and also the study of weaker versions of those problems. Under the hypothesis adopted in this work, the formulation of some accurate strong optimal conditions boils down to a stochastic invertibility property, whose definition requires information flows preserving transports of measures, through specific isomorphisms of filtered probability spaces. This property, which finds part of its roots in a sequence of works of D.Feyel, A.S.Üstünel, M.Zakai and their collaborators, and around results which have been employed by H.Föllmer some times ago, naturally opens to a wide range of applications, and to extensions to geometric frameworks. In particular, we will study applications to various fields such as filtering, time Euclidean quantum mechanics, stochastic optimization, stochastic control, optimal transport, or information theory.