Réalisabilité et paramétricité dans les systèmes de types purs

Realizability and parametricity in Pure Type Systems

• Auteur / Autrice : Marc Lasson
• Direction : Patrick Baillot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 20/11/2012
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Christine Paulin-Mohring
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Baillot, Christine Paulin-Mohring, Martin Hofmann, Nick Benton, Olivier Laurent
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Thierry Coquand, Martin Hofmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Isomorphisme de Curry-Howard

Lambda-calcul

Théorie des types

Théorie de la démonstration

Langages de programmation fonctionnelle

Mots clés libres

Réalisabilité

Paramétricité

Relation logique

Systèmes de types purs

Types dépendants

Théorie des types

Isomorphisme de curry-howard

Lambda-calcul

Calcul des constructions

Coq

Assistants de preuve

Realizability

Parametricity

Logical relation

Pure type systems

Dependant type

Type theory

Curry-howard isomoprhism

Lambda-calculus

Calculus of constructions

Coq

Proof assistants

Résumé

Cette thèse porte sur l’adaptation de la réalisabilité et la paramétricité au cas des types dépendants dans le cadre des Systèmes de Types Purs. Nous décrivons une méthode systématique pour construire une logique à partir d’un langage de programmation, tous deux décrits comme des systèmes de types purs. Cette logique fournit des formules pour exprimer des propriétés des programmes et elle offre un cadre formel adéquat pour développer une théorie de la réalisabilité au sein de laquelle les réalisateurs des formules sont exactement les programmes du langage de départ. Notre cadre permet alors de considérer les théorèmes de représentation pour le système T de Gödel et le système F de Girard comme deux instances d'un théorème plus général.Puis, nous expliquons comment les relations logiques de la théorie de la paramétricité peuvent s'exprimer en terme de réalisabilité, ce qui montre que la logique engendrée fournit un cadre adéquat pour développer une théorie de la paramétricité du langage de départ. Pour finir, nous montrons comment cette théorie de la paramétricité peut-être adaptée au système sous-jacent à l'assistant de preuve Coq et nous donnons un exemple d'application original de la paramétricité à la formalisation des mathématiques.

This thesis focuses on the adaptation of realizability and parametricity to dependent types in the framework of Pure Type Systems. We describe a systematic method to build a logic from a programming language, both described as pure type systems. This logic provides formulas to express properties of programs and offers a formal framework that allows us to develop a theory of realizability in which realizers of formulas are exactly programs of the starting programming language. In our framework, the standard representation theorems of Gödel's system T and Girard's system F may be seen as two instances of a more general theorem. Then, we explain how the so-called « logical relations » of parametricity theory may be expressed in terms of realizability, which shows that the generated logic provides an adequate framework for developping a general theory of parametricity. Finally, we show how this parametricity theory can be adapted to the underlying type system of the proof assistant Coq and we give an original example of application of parametricity theory to the formalization of mathematics.